Со времен П. С. Гурьева, как мы показали, методика начального обучения арифметике в основном учитывает в работе с детьми требования теории .действий, обосновывая соответствующие приемы с точки зрения дидактики и психологии. Однако этим не исчерпывается роль арифметической теории при разработке методики преподавания арифметики. Арифметические действия производятся над числами. Не опираясь на достаточно полное раскрытие понятия натурального числа, нельзя правильно построить методику преподавания арифметики.
Этот последний вопрос стал предметом методической мысли сравнительно недавно. В самой арифметике он возник в связи с появлением аксиоматической теории Джузеппе Пеано и генетической теории, или теории множеств, Георга Кантора.
Как уже указывалось в главе 1, при обосновании методики начального обучения математике целесообразно опираться на теорию множеств, которая в силу конкретности ее исходных положений позволяет наметить некоторые доступные для учеников начальных классов методические приемы. В качестве примера сошлемся хотя бы на способ конкретизации количественного и порядкового значения числа как элемента натурального ряда. Обычно для этой цели применяется так называемая «лесенка». Однако «лесенка» не отражает подлинной связи каждого следующего числа с предыдущим, предыдущее множество не выступает при этом как правильная часть следующего множества. С большим успехом данную связь можно пояснить следующим рисунком (рис. 1), отражающим как количественное, так и порядковое значение каждого числа.
В учебнике арифметики А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка для I класса каждое число первого десятка представлено, с одной стороны, рядом косточек на счетах, что позволяет остановить внимание ученика на месте данного элемента упорядоченного множества, а с другой стороны, числовой фигурой, что облегчает, благодаря удобной группировке элементов множества, непосредственное восприятие его числового значения.
Следует подчеркнуть, что теория конечных множеств служит не только основой построения методики начального обучения математике, но, как показывают новейшие исследования, некоторые исходные понятия этой теории с соответствующей терминологией доступны ученикам начальных классов.
В свое время еще Д. Д. Галанин утверждал, что «Понятие числа получается в результате измерения и тесно связано с понятием отношения»; последнее не формируется при рассмотрении числа только как совокупности «однородных счетных единиц», поэтому Д. Д. Галанин рекомендовал начинать обучение с непосредственного” измерения длины, веса и других величин.
Нет никаких сомнений в том, что измерение величин следует использовать на первых ступенях обучения наряду с пересчитыванием элементов множеств. Тем самым обеспечивается более полное представление о числе.
Как мы видим, история развития методики начального обучения арифметике прошла длинный и сложный путь от первых попыток ее теоретико-математического обоснования до использования новейших положений в математике и психологии.
