Числа, над которыми производятся арифметические действия, получаются либо в результате пересчитавыния конкретных предметов (деревьев, карандашей, животных и д.р.) либо в результате измерения величин (длины, веса, времени, скорости и др.) с помощью соответствующих единиц измерения.
При измерении величины одной какой-либо единицей получается простое именованное число, содержащее единицы одного наименования; если же величину выражают несколькими единицами измерения, то получается составное именованное число, составленное из однородных единиц разных наименований. Именованным числам надо противопоставить отвлеченное число, при котором нет наименования.
Именованное число — это числовое значение той или иной величины, выраженное определенными единицами измерений. Каждое составное именованное число должно вызывать у детей отчетливое представление: ученик должен вполне конкретно представлять себе состав именованного числа и ту величину, которую это число выражает. Так, число 6 м 2 дм ученик должен представлять себе в виде прямой линии, например длины класса, вдоль которого метр уложился 6 раз и еще оказался остаток, на котором дециметр поместился 2 раза.
Для того чтобы ученик ясно, конкретно представлял себе именованное число, надо, чтобы он сам неоднократно получал именованные числа путем измерения длины, веса, вместимости и т. п., причем здесь же обращал внимание на то, что одна и та же величина, в зависимости от выбранной единицы измерения, может быть выражена различными числами. Так, например, отрезок длиной 1 м выражается и числом 1, если он измеряется метром, и числом 10, если он измеряется дециметром, и числом 100 при измерении его сантиметром и, наконец, числом 1000 при измерении его миллиметром.
В именованном числе следует различать две составные части: наименование (единицу измерения) и число, показывающее, сколько раз единица измерения содержится в измеряемой величине. Поэтому именованное число можно рассматривать как произведение единицы измерения на отвлеченное число. Например, 5м = 1м х 5 = 5м.
Задача методики именованных чисел заключается в том, чтобы действия над такими числами свести к операциям над их числовыми характеристиками, то есть над натуральными числами.
Рассмотрим сначала преобразования и действия над именованными числами, выраженными в единицах метрических мер. Как записывать составное именованное число, выраженное в метрических мерах?
В методических руководствах и в школьной практике принято записывать числа так, как они произносятся, например 2м 5см; 3т 96кг; 6руб. 8коп. и т. д. Такая запись удобна тем, что она соответствует восприятию числа на слух: ученик пишет так, как произносит. Но такая форма записи в дальнейшем, когда ученику придется раздроблять число и производить над ним действия, приводит его к ошибкам.
Так, например, при раздроблении числа 26руб. 5коп. у многих учеников получаются 265коп; при раздроблении числа 4м 9см в сантиметры получается 49см. При решении примера 3км 86м — 1км 90м типичной и распространенной ошибкой является ответ 1км 96м (вместо 1км 996м).
Причина ошибки заключается в том, что в числах, над которыми производится действие или преобразование, ничем не обозначен отсутствующий разряд.
Поэтому некоторые ^методисты предлагают ввести такую запись составных именованных чисел, в которой на месте отсутствующих единиц того или иного разряда пишется нуль, например: 16 руб. 07 коп. 4т 065кг; 2ц 09кг; 1км 008м и т. д.
К такой записи можно подготовить учеников следующим образом. Все составные именованные числа, выражающие меры длины и веса, в зависимости от единичных отношений мер, можно разбить на три группы. В первую группу войдут числа с единичным отношением 10, во вторую — с единичным отношением 100 и в третью группу — с единичным отношением 1000.
Получится примерно следующая табличка:
| 10 | 100 | 1000 |
| 1) 5 м 7 дм 2) 8 дм 4 см 3) 3 см 5 мм 4) 4 т б ц | 1) 9 р. 58 коп. 9 р. 08 коп. 2) 6 м 75 см 6 м 05 см 3) 7 ц 96 кг 7 ц 06 кг | 1) 2 км 248 м 2 км 048 м 2 км 008 м 2) 3 т 629 кг 3 т 029 кг 3 т 009 кг 3) 1 кг 285 г 1 кг 085 г 1 кг 005 г |
Разбор этой таблицы покажет, где и почему надо писать нули при записи составных именованных чисел.
Этому же может содействовать и сопоставление метрической системы мер с десятичной системой счисления (с нумерационной таблицей):
| Миллионы | Тысячи | Единицы | ||||||
| сотни | десятки | еди- ницы | сотни | десятки | еди- ницы | сотни | десятки | еди- ницы |
| км | м | дм | см | мм | ||||
| т | ц | кг | г |
Из таблицы видно, что подобно тому, как из 10 единиц составляется 1 десяток, из 10 мм составляется 1 см; подобно тому, как из 10 десятков составляется 1 сотня, из 10 еж составляется 1 дм; подобно тому, как 10 сотен составляют 1 тысячу, 10 дм составляют 1 м и т. д.
Полезно сопоставить числа: 3 м 5 дм 7 см 8 мм и 3578; З м 5 дм 7 см и 357; 3 м 0 дм 7 см и 307.
В этой таблице есть незаполненные клетки (декаметры, гектометры и др.). Чтобы детям была ясна система мер, эти меры можно назвать, но запоминать их не следует.
