Понятие натурального числа раскрывается с первых дней обучения детей математике в процессе выполнения ими операций над конечными множествами, а также в процессе измерения длины отрезков, а позднее веса, площади и др. Формирование понятия натурального числа в процессе счета и измерения обогащает содержание этого понятия; кроме того, идея меры и измерения получает при этом правильное истолкование. Поэтому уже при изучении первого и второго десятков включаются единицы измерения длины — сантиметр и дециметр, которые используются для измерения длины отрезков путем наложения, а несколько позднее применяется масштабная линейка.
Дальнейшее развитие понятия натурального числа происходит при изучении нумерации, когда само число выступает как элемент упорядоченного множества (натуральной последовательности), при этом раскрывается количественное и порядковое его значение. Эффективность усвоения этих последних понятий значительно повышается, если добиваться формулировки свойств натуральной последовательности.
В дальнейшем натуральные числа выступают в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия.
Нуль как число и как цифра вводится уже в I классе при вычитании вида: 2 — 2, 5 — 5, что соответствует правильному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств. Здесь же нуль выступает и как цифра при записи круглых чисел и как начало отсчета на линейке (начало числового луча).
В дальнейшем число нуль рассматривается в качестве компонента сложения и вычитания (15 + 0; 0 + 28; 17 — 0; 0 + 0), потом в качестве компонента умножения и деления.
Учитывая требования практики измерений, в начальной школе расширяется числовая область введением понятия доли и дроби как совокупности одинаковых долей. Это делается в связи с раскрытием конкретного смысла действия деления. Поскольку сущность образования дробных чисел ярко раскрывается при решении задач на нахождение доли и дроби от числа и числа по .его доле, то эти задачи включаются одновременно с введением дробных чисел.
В программе долгое время сохранялась излишняя монографичность в изучении долей, когда ученики знакомились только с определенным и притом ограниченным кругом долей (1/2, 1/4, 1/8, 1/10). Такая практика суживала возможности посильного для детей обобщения: Опыт показывает, что дети вполне способны усвоить ту закономерность, которая лежит в основе получения любой доли, и сделать необходимые обобщения. Поэтому целесообразно сразу вводить все доли со знаменателями — числами первого десятка и за его пределами.
