Характерной особенностью начального курса математики является расположение в нем учебного материала по концентрам или, говоря точнее, «по спирали». Термин «по спирали» в большей мере выражает характер построения курса начальной математики, так как изучение материала не замыкается в. определенном концентре, а развивается, углубляется и обобщается на последующих ступенях обучений. Концентры определяются сущностью десятичной системы счисления и приемами выполнения арифметических действий.
Вычислительные приемы основаны на законах и свойствах действий, позволяющих свести действия над числами любой величины к действиям над числами их разрядов, а выполнение действий над однозначными числами или разрядами их требует знания таблиц действий.
Счет до десяти лежит в основе всего счета.
Каждое число первого десятка представляет собой совокупность нескольких единиц. Оно имеет особое название, изображается особой цифрой. В пределах первого десятка заключена часть таблицы сложения, которую ученики должны знать наизусть. Отсюда следует, что первый десяток должен быть выделен в особый концентр.
Следующий концентр составляет второй десяток. В пределах двух десятков заключена вся таблица сложения, которую ученики должны хорошо знать, чтобы складывать и вычитать любые многозначные числа. Кроме того, в этом концентре ученик впервые встречается с десятичной группировкой единиц и с вычислительными приемами, которые основаны на этой группировке. Закономерности, лежащие в основе этой системы и этих приемов, легче показать и понять на небольших числах, какими и являются числа в пределах 20. Поэтому второй десяток можно рассматривать как вспомогательную ступень при переходе от первого десятка к сотне, которая составляет особый концентр. В пределах сотни полнее, чем в пределах второго десятка, раскрывается сущность десятичной системы счисления и принцип поместного значения цифр.
В пределах первой сотни полностью заключена таблица умножения, которую надо знать наизусть, чтобы успешно умножать и делить многозначные числа. Здесь более многообразны вычислительные приемы сложения и вычитания, связанные с расчленением чисел на десятки и единицы. В этом концентре ученик впервые встречается с внетабличными приемами умножения и деления, которые являются необходимой ступенью в изучении действий с многозначными числами. Все это служит достаточным основанием для выделения сотни в особый концентр, которому по справедливости придается большое значение.
В десятичной системе счисления единицы группируются в разряды и классы. Все классы построены по образцу класса единиц. Нумерация чисел любой величины аналогична нумерации чисел первой тысячи. На трехзначных числах учеников легко познакомить с письменными приемами выполнения арифметических действий. Вот почему первая тысяча выделена в особый концентр.
После усвоения нумерации и действий над числами в пределах тысячи ученики без труда усваивают нумерацию и алгоритмы действий над многозначными числами, которые составляют особый концентр. В этом концентре действия выполняются преимущественно письменно. Здесь отрабатывается механизм арифметических действий, расширяются и обобщаются знания о нумерации и четырех действиях с натуральными числами; углубляются элементарные теоретические сведения о связи и зависимости между действиями, между компонентами и результатами действий, о законах и свойствах арифметических действий.
При концентрическом построении курса арифметики понятие о системе счисления раскрывается постепенно в процессе изучения нумерации натуральных чисел и арифметических действий над ними. При этом понятия разряда, класса, единиц разряда и класса, числа и др. развиваются от концентра к концентру. В целях обобщения вводится в очень ограниченном объеме римская нумерация, что дает возможность сравнить позиционную и непозиционную системы счисления.
Основное значение расположения материала по концентрам или по спирали состоит в том, что благодаря такому расположению курс начальной арифметики становится доступным для всех детей 7—11-летнего возраста. Это подтверждает длительный опыт школ всех стран и народов. Из истории методики известно, что арифметика стала доступной для всех учеников лишь тогда, когда ее расчленили на концентры и стали изучать их один за другим. Но вопрос о числе концентров может решаться по-разному.
В настоящее время у нас применяется 6 концентров, однако число их может быть сокращено: так, например, нет необходимости разбивать концентр «Многозначные числа» на два концентра («Миллион» и «Целые числа»); при некоторых условиях возможно, как показал опыт, объединение «Второго десятка» и «Сотни» в один концентр; нуждается в пересмотре содержание концентра «Тысяча». Целесообразность таких изменений должна быть проверена экспериментальным путем.
