Рассмотрим основные случаи умножения и деления многозначных чисел в такой последовательности: письменное умножение на однозначное число, умножение на десять и на сто, на круглые десятки и на круглые сотни, на двузначное и трехзначное число; письменное деление на однозначное число, деление на десять и на сто, на круглые десятки и на круглые сотни, на двузначное и на трехзначное число. Частные случаи будем вводить по мере того, как они могут появляться.
К частным случаям умножения обычно относят умножение с нулем (с нулями) в середине множителя, с нулем (с нулями) на конце только множимого, или только множителя, или же на конце у обоих сомножителей. К аналогичным случаям деления относят случаи с нулями в частном. Уже само название «частные случаи» говорит о том, что в них есть нечто своеобразное, хотя в основном они сходны с общими случаями.
Вводя частный случай вслед за общим, мы тем самым создаем ученику лучшие возможности увидеть и общее, и особенное, ибо «отдельное не существует иначе как в той связи, которая ведет к общему. Общее существует лишь в отдельном, через отдельное. Всякое отдельное есть (так или иначе) общее». Поэтому целесообразно вслед за общим случаем давать и соответствующие частные случаи, чем обеспечивается закрепление общих правил и создается возможность показать своеобразие частного случая в наиболее благоприятных условиях, когда применение общего приема еще не автоматизировалось.
Частные случаи умножения имеют еще и следующее значение: запись этих примеров отличается от записи аналогичных примеров на общие случаи умножения и от записи примеров на письменное сложение и вычитание, в которых единицы одного и того же разряда записываются друг под другом. В записи же примеров на частные случаи этот принцип нарушается: единицы, например, могут быть записаны либо под десятками, либо под сотнями, либо сотни под единицами и т. д., в зависимости от количества нулей на конце сомножителей:
