Первая сотня. Обучение счёту и решению задач в младших классах начальной школы

При изучении нумерации в пределе 100 необходимо довести до сознания детей целесообразность выделения десятка как счётной единицы. Достижению этой цели могут содействовать упражнения в сосчитывании одного и того же количества палочек (например, 50) сперва единицами, затем десятками. Полезны также упражнения в параллельном отсчитывании некоторого количества простых единиц (например, 8 палочек) и такого же количества десятков (8 десятков палочек).

При обучении устной нумерации следует возможно чаще выяснять десятичный состав рассматриваемых чисел.

Для лучшего усвоения письменной нумерации полезно применение метра, абака и нумерационной таблицы. На метре, разделённом на сантиметры, дети ведут счёт от 1 до 100, упражняются в нахождении тех или иных чисел (того или иного числа сантиметров).

При изучении письменной нумерации дети, отложив определённое, указанное учителем количество кубиков или палочек (например, 43), затем изображают это число на абаке, записывают его в нумерационной таблице и вне её.

 

При прохождении письменной нумерации сначала берутся числа, состоящие из десятков и единиц, затем числа, состоящие только из десятков.

Чтобы уточнить представления детей о натуральном ряде чисел в пределе 100, целесообразно практиковать запись учащимися в своих тетрадях чисел первой сотни следующим способом:

 

Расположенные таким образом числа первой сотни желательно оформить в виде классной настенной таблицы, на которой дети по заданию учителя упражняются в быстром отыскивании тех или иных чисел, например, чисел: 7, 17, 27, 37… 97; 94, 84, 74… и др. Эта таблица может быть использована в дальнейшем при изучении действий над числами первой сотни.

Приведём образцы соответствующих упражнений: «К каждому из чисел третьего вертикального ряда (третьего столбика) прибавить 4, от каждого из чисел шестого столбика отнять 4, разделить числа пятого столбика на 5 (считать пятёрками)» и т. п.

Вслед за нумерацией изучаются действия над круглыми де – сятками . Действия над круглыми десятками можно выполнять двояко, в зависимости от того, рассматриваем ли мы состав данных чисел из простых единиц или из десятков. Так, для выполнения действия 40 + 20 можно: а) к 40 единицам прибавить 20 единиц и б) к 4 десяткам прибавить 2 десятка. Второй приём, очевидно, легче первого и им следует преимущественно пользоваться при выполнении действий над круглыми десятками.

Для того чтобы облегчить усвоение этого приёма, целесообразно при объяснении каждого действия параллельно рассматривать аналогичные примеры в пределе 10 и 100, например:

 

Из действий над круглыми десятками более трудными являются умножение и деление, в особенности последнее. Для подготовки учащихся к изучению этих действий полезно при прохождении сложения и вычитания практиковать упражнения в групповом счёте, например:

К 20 прибавлять по 20 до тех пор, пока не получится 100.

От 90 отнимать по 30, пока не получится 0.

При прохождении действий над круглыми десятками, в особенности при прохождении умножения и деления, полезно применять наглядные пособия (палочки, кубики и т. п.).

Изучением действий над круглыми десятками заканчивается программа 1 класса.

Во 2 классе после тщательного повторения пройденного в 1 классе дети приступают к изучению сл оже ния и в ычитан ия в пределе 100. Сложение и вычитание в пределе 100 охватывают следующие случаи, которые различаются приёмами вычислений:

1.    Сложение и вычитание без перехода через десяток:

1)    Прибавление однозначного числа к круглым десяткам, например: 50 + 6; 6 + 50.

Приём сложения основан на знании нумерации и состоит в соединении данных десятичных групп (50 и 6) в одно число.

2)    Вычитание из полного двузначного числа его единиц или десятков: 56 – 6; 56 – 50.

Приём вычитания состоит в разложении уменьшаемого (56) на десятичные группы (50 и 6), от которых отнимается одна из групп.

3)    Сложение полного двузначного числа с однозначным, когда сумма единиц слагаемых меньше или равна 10, например: 26 + 2; 2 + 26; 26 + 4; 4 + 26.

При выполнении сложения в данном случае складывают единицы слагаемых и полученную сумму прибавляют к десяткам двузначного слагаемого, например:

26 + 2 = 20 + (6 + 2) = 20 + 8 = 28

26 + 4 = 20 + (6 + 4) = 20 + 10 = 30

4)    Сложение полного двузначного числа с круглыми десятками, например: 56 + 20; 20 + 56.

В этом случае складывают десятки (50 и 20) и к полученной сумме (70) прибавляют единицы (6).

5)    Сложение полных двузначных чисел, когда сумма единиц слагаемых меньше или равна 10, например: 26 + 32; 26 + 34.

В данном случае основной приём сложения состоит в том, что к первому слагаемому последовательно прибавляют десятки и единицы второго слагаемого, например:

26 + 32 = 26 + 30 + 2 = 56 + 2 = 58;

26 + 34 = 26 + 30 + 4 = 56 + 4 = 60.

6)    Вычитание однозначного числа из полного двузначного, когда единицы уменьшаемого больше единиц вычитаемого, например: 38 – 2.

В данном случае от единиц уменьшаемого (8) отнимают единицы вычитаемого (2) и полученный остаток (6) прибавляют к десяткам уменьшаемого (30).

7)    Вычитание круглых десятков из полного двузначного числа, например: 56 – 20.

При выполнении вычитания в этом случае от десятков уменьшаемого (50) отнимают вычитаемое (20) и к полученному остатку (30) прибавляют единицы уменьшаемого (6).

8)    Вычитание полных двузначных чисел из полных двузначных, когда единицы уменьшаемого больше единиц вычитаемого или равны им, например: 56 – 24; 56 – 26.

В данном случае от уменьшаемого последовательно отнимают десятки и единицы вычитаемого, например:

56 – 24 = 56 – 20 – 4 = 36 – 4 = 32;

56 – 26 = 56 – 20 – 6 = 36 – 6 = 30.

9)    Вычитание однозначного числа из круглых десятков, например: 60 – 2.

В этом случае у уменьшаемого (60) берут один десяток, отнимают от него вычитаемое (2) и полученный остаток (8) прибавляют к оставшейся части уменьшаемого (50).

10)    Вычитание полного двузначного числа из круглых десятков, например 60 – 32.

В данном случае от уменьшаемого последовательно отнимают десятки и единицы вычитаемого, например:

60 – 32 = 60 – 30 – 2 = 30 – 2 = 28.

2.    Сложение и вычитание с переходом через десяток. 1) Сложение однозначного числа с двузначным, например: 28 + 6; 6 + 28. В этом случае двузначное слагаемое дополняют до круглых десятков, к которым затем прибавляют оставшиеся единицы однозначного слагаемого, например:

28 + 6 = (28 + 2) + 4 = 30 + 4 = 34

6 + 28 = (28 + 2) + 4 = 30 + 4 = 34

2)     Сложение двузначных чисел, например: 28 + 24.

Основной приём в данном случае состоит в том, что к первому слагаемому последовательно прибавляют десятки и единицы второго слагаемого, например:

28 + 24 = 28 + 20 + 4 = 48 + 4 = 52.

3)     Вычитание однозначного числа из двузначного, например: 44 – 6.

В данном случае от уменьшаемого отнимают часть вычитаемого, равную единицам уменьшаемого, и из полученного остатка вычитают оставшиеся неотнятыми единицы вычитаемого, например:

44 – 6 = (44 – 4) – 2 = 40 – 2 = 38.

4)     Вычитание двузначных чисел, например: 42 – 24.

В данном случае от уменьшаемого последовательно отнимают десятки и единицы вычитаемого, например:

42 – 24 = 42 – 20 – 4 = 22 – 4 – 18.

При сложении и вычитании в пределе 100, после усвоения указанных выше приёмов, полезно применение следующих приёмов:

1)    Поразрядное сложение, например:

28 + 6 = 20 + (8 + 6) = 20 + 14 = 34;

28 + 24 = (20 + 20) + (8 + 4) = 40 + 12 = 52.

2)     Округление одного из слагаемых, например:

35 + 19 = 35 + 20 – 1 = 55 – 1 = 54.

3)     Округление вычитаемого, например:

53 – 19 = (53 – 20) + 1 = 33 + 1 = 34.

Некоторые из приведённых выше приёмов сложения и вычитания в пределе 100 аналогичны приёмам, используемым при сложении и вычитании в пределе 20. Так, действие 56 + 3 выполняется в основно м так же, как 16 + 3, 80 – 4, как 20 – 4; 42 – 9, как 12 – 9; 60 – 12, как 20 – 12 и т. д. Рассмотрению отдельных случаев сложения и вычитания в пределе 100 следует поэтому предпосылать повторение соответствующих действий в пределе 20, перенося затем знакомый детям приём на новую область чисел.

Помимо опоры на ранее усвоенные приёмы, успешному изучению сложения и вычитания в пределе 100 содействует подробное устное объяснение используемых приёмов при решении первых примеров на каждый новый случай этих действий, а также подр о бная запись промежуточных вычислений, из которых складывается выполнение данного действия.

При прохождении сложения и вычитания в пределе 100 следует уделять особое внимание упражнениям, которые, одновременно с закреплением этих действий, способствуют подготовке к изучению умножения и деления в данном пределе, например:

а)    к 8 прибавлять по 8 до тех пор, пока не получится 80;

б)    49 + 49; 27 + 27 + 27; 23 + 23 + 23 + 23;

в)    от 80 отнимать по 8, пока не получится 0.

Т аблично е умн о ж е ни е в пределе 100 выполняется с помощью тех же приёмов, как и умножение в пределе 20, при этом, как и в пределе второго десятка, в качестве основного приёма используется последовательное сложение равных слагаемых, а остальные приёмы (разложение множителя на слагаемые и перестановка сомножителей) — в качестве дополнительных.

Для сознательного усвоения основного приёма табличного умножения полезны упражнения в групповом счёте (в счёте двойками, тройками, четвёрками, пятёрками и т. д.). Усвоению этого приёма способствует также применение наглядности и подробная запись выполняемых вычислений, например:

6 + 6 = 12 6 х 2 = 12

6 + 6 + 6 = 18 6 х 3 = 18

6 + 6 + 6 + 6 = 24 6 х 4 = 24

Применение наглядных пособий можно рекомендовать при рассмотрении и других приёмов табличного умножения.

Разложение множителя на слагаемые в качестве приёма умножения целесообразно применять тогда, когда множитель больше 5 и когда вследствие этого, легко ошибиться при пользовании приёмом последовательного сложения.

Перестановку сомножителей следует применять весьма широко: при прохождении каждой таблицы умножения следует выяснить, какие равенства этой таблицы можно путём перестановки сомножителей свести к ранее встречавшимся. Благодаря пользованию этим приёмом число равенств, подлежащих запоминанию, сокращается почти вдвое.

К дополнительным приёмам умножения относится округление одного из сомножителей. Так, при умножении 6 на 9 можно 6 умножить на 10 и из полученного произведения (60) вычесть 6. При умножении 9 на 4 можно 10 умножить на 4 и из полученного произведения (40) вычесть 4.

Заботясь о сознательности усвоения приёмов умножения, следует в то же время добиваться, чтобы учащиеся знали таблицу умножения твёрдо наизусть и прибегали к нахождению результатов при помощи изученных приёмов данного действия лишь в тех случаях, когда они забывают тот или иной результат.

Т аблично е д еле н и е в пределе 100 изучается параллельно с соответствующими случаями умножения. При делении в пределе 100 могут быть использованы те же приёмы, что и при делении в пределе 20. Из этих приёмов основным является подбор числа, которое, будучи умножено на делитель, давало бы в произведении делимое.

К изучению каждого случая деления следует приступать лишь после основательного усвоения соответствующего случая умножения.

При объяснении деления вначале следует каждому примеру на деление предпослать соответствующий пример на умножение: 6 х 4; 24 ^ 6.

В дальнейшем примеры на деление предлагаются без подготовительных примеров на умножение, но при их решении надо возможно чаще практиковать проверку полученного результата с помощью умножения.

При обучении детей внетабличному умножению различают два случая умножения: а) на однозначное число и б) на двузначное. В первом случае на однозначное число умножают десятки множимого, затем его единицы и полученные произведения складывают. Во втором случае однозначное число умножают сперва на десятки множителя, затем на его единицы и полученные произведения складывают. Легко видеть, что в обоих случаях по существу применяется один приём, тем более что путём перестановки сомножителей можно второй случай свести к первому.

При прохождении внетабличного умножения необходимо соблюдать строгую последовательность в переходе от лёгких к трудным примерам, беря вначале примеры, в которых произведение единиц множимого на единицы множителя меньше 10 (например: 2^9, 12x4, 32x3; или 9 х 2, 4 х 12, 3 х 32), затем примеры, в которых это произведение равно 10 или другому «круглому» числу (например: 12 x 5, 25 x 4; или: 5 x 12, 4 x 25) и, наконец, примеры, в которых это произведение есть полное двузначное число (например: 12 х 6, 25 х 3; или: 6 х 12, 3 х 25).

Внетабличное д е ле ние включает деление: а) на однозначное число и б) на двузначное.

Основной приём внетабличного деления на однозначное число состоит в разложении делимого на слагаемые, из которых каждое делится на делитель, например:

85 – 5 = (50 + 35) – 5 = (50 – 5) + (35 – 5) = 10 + 7 = 17.

Для лучшего усвоения этого приёма полезно вначале брать такие примеры, в которых единицы каждого разряда делимого делятся без остатка на делитель, например- 26 – 2, 48 – 4, 55 – 5, и лишь затем перейти к решению примеров, в которых десятки делимого не делятся без остатка на делитель, например: 64 – 4, 96 – 6. При решении первых примеров на деление, особенно в более трудных случаях его, полезно применять наглядность, деля данное число палочек, кубиков и т. п. на требуемое число равных частей.

Основной приём деления на двузначное число состоит в подборе частного путём умножения его на делитель. Этот приём, применяемый и при табличном делении, не является для детей новым; но применение его при внетабличном делении затрудняет многих детей: нахождение частного им нередко удаётся лишь после многих проб. Чтобы облегчить нахождение частного при внетабличном делении на двузначное число, целесообразно начать с таких примеров, которые дают в частном небольшие числа, например: 32 – 16; 72 – 24. В этом случае для нахождения частного требуется мало проб, даже если испытывать по порядку все числа, начиная с 2.

Затем следует перейти к решению примеров с большими частными, например: 84 – 12; 95 – 19; 98 – 14 и т. п., причём вначале рекомендуется решение небольших групп сходных примеров с одним и тем же делителем, например: 42 – 14; 70 – 14; 98 – 14; 84 – 14 или: 60 – 12; 96 – 12; 72 – 12. Иногда решению данной группы примеров на деление полезно предпослать решение соответствующих примеров на умножение. Например, до решения приведённых выше примеров с делителем 14 можно проделать следующие подготовительные упражнения: «Прибавляйте к 14 по 14 до тех пор, пока не получится 98. Сколько получится, если 14 х 2? 14 х 3? 14 х 4? 14 х 5? 14 х 6? 14 х 7?»

При повторении деления в пределе 100 учащиеся упражняются в нахождении кратных и делителей данного числа, выполняя следующие задания: «Назовите числа (не больше 100), которые делятся без остатка на 2, на 12, на 13, на 14 и т. д. На какие числа делятся без остатка 45? 28? 60?» и т. д.

При изучении деления необходимо познакомить детей с делением с остатком .

Деление с остатком находит широкое применение при письменном делении многозначных чисел. Успешность изучения последнего поэтому в немалой мере зависит от усвоения деления с остатком в пределе 100.

При прохождении деления с остатком целесообразно вначале решать примеры с одним делителем, положим, несколько примеров с делителем 2, затем несколько примеров с делителем 3 и т. д., при этом примеру на деление с остатком иногда полезно предпослать соответствующий пример на деление без остатка, например: 16 ^ 2; 17 ^ 2 или: 27 ^ 3; 29 ^ 3.

При упражнениях в решении задач на этом этапе обучения вводятся следующие новые виды простых задач: при прохождении сложения и вычитания — задачи на разностное сравнение и задачи, в которых по данному вычитаемому и остатку требуется найти уменьшаемое. При прохождении умножения и деления — задачи на деление по содержанию, на увеличение и уменьшение данного числа в несколько раз, на нахождение части числа, на кратное сравнение. Кроме того, решаются составные задачи, представляющие собой различные сочетания знакомых детям видов простых задач.

При объяснении задачи, в которой требуется по данному вычитаемому и остатку найти уменьшаемое (например: «Брат дал сестре 2 пера и после этого у него осталось 5 перьев. Сколько перьев было сначала у брата?»), полезно инсценировать условие, добиваясь отчётливого понимания детьми, что сначала у брата были и те 2 пера, которые он отдал сестре, и те 5 перьев, которые остались у него.

При рассмотрении новых видов простых задач большое внимание следует уделять сознательному усвоению учениками смысла соответствующих математических понятий (разностного и кратного сравнения, увеличения и уменьшения в несколько раз и др.). Достижению этой цели может содействовать широкое применение наглядных пособий при решении первых задач. Так, рассмотрение задач на разностное сравнение целесообразно начать со сравнения числа кубиков в двух рядом поставленных столбиках, со сравнения длины двух палочек, двух полосок бумаги, бечёвок и т. п.

При рассмотрении случая деления по содержанию полезно решение практических задач, например: путём наложения узнать, сколько раз меньшая палочка (или полоска бумаги) уложится в большей; узнать, сколько раз в данной коробочке содержится по 2 карандаша, сколько раз в ней содержится по 5 перьев; разделить 12 карандашей (палочек) между несколькими учениками так, чтобы каждому досталось по 2 карандаша.

Вначале подобные задачи решаются устно, без записей, затем выясняется, каким действием они решены, и вводится запись решения.

После усвоения деления по содержанию проводится сравнение этого случая деления со случаем деления на равные части, для чего полезно решать задачи с одинаковой тематикой, подобранные так, что одна задача включает случай деления на равные части, а другая — случай деления по содержанию или наоборот. Например: «18 листов бумаги разделили между 3 учениками поровну. Сколько листов бумаги получил каждый ученик?», «18 тетрадей роздали нескольким ученикам, каждому по 3 тетради. Скольким ученикам роздали тетради?»

Для того чтобы учащиеся лучше осмыслили различие между двумя случаями деления, полезно эти задачи инсценировать, реально выполняя то, о чём рассказывается в каждой из них.

С большой тщательностью следует объяснить и другие виды простых задач, которые были упомянуты выше.

В пределе первой сотни решаются составные задачи в 2 — 3 действия, преимущественно приведённые. Определённое внимание следует также уделять неприведённым задачам. Чтобы облегчить решение последних, иногда целесообразно решать рядом приведённую и неприведённую задачи с аналогичной структурой, например: «3 мальчика ловили рыбу. Первый поймал 19 рыб, второй на 5 рыб больше первого, а третий в 2 раза меньше второго. Сколько рыб поймал третий мальчик?» (приведённая задача).

«3 девочки собирали грибы. Вторая девочка нашла на 7 белых грибов больше первой, а третья в 2 раза меньше второй. Сколько белых грибов нашла третья девочка, если первая нашла 25 белых грибов?» (неприведён- ная задача).

В число составных задач, решаемых в пределе первой сотни, входят задачи на приведение к единице, например:

«За 5 метров ткани заплатили 75 руб. Сколько нужно уплатить за 3 метра такой ткани?»

«3 чашки стоят 15 руб. Сколько таких чашек можно купить на 40 руб.?»

Для лучшего понимания способа решения этих, как и других составных задач целесообразно проводить аналитический разбор их, выясняя, можно ли сразу решить главный вопрос задачи, каких данных не хватает для этого, как получить эти данные.

Иногда может оказаться полезным инсценирование условий задачи, изображение её содержания в лицах. Так, при рассмотрении условия приведённой выше задачи можно вызвать к доске двух учащихся, из которых один изображает покупателя, купившего 5 м ткани за 75 руб., а другой — покупателя, желающего купить 3 м такой ткани. С помощью вопросов, адресуемых к «покупателям», выясняется, сколько метров ткани купил первый из них, сколько денег он уплатил за купленную ткань, сколько метров ткани хочет купить второй «покупатель», что ему нужно сосчитать.

Источник:

Начальная школа. Настольная книга учителя – 1950, под редакцией проф.. М.А. Мельникова