Прежде чем перейти к косвенному измерению площади, следует провести беседу о том, что на практике способ наложения большей частью труден или даже невозможен при измерении площади лесного участка, площади засеянного поля, площади здания, пруда и т. д. Отсюда вытекает необходимость искать другие способы измерения площади. Следующие чертежи (рис. 76) иллюстрируют ход и последовательность рассуждений, приводящих учеников к выводу правила для вычисления площади прямоугольника и квадрата.
рис.76
Начиная с первого рисунка, когда вычисление площади производится непосредственным наложением квадратных единиц, мы постепенно сокращаем количество накладываемых единиц и, наконец, переходим к вычислению площади и выводу соответствующего правила. Отсюда и вытекает принятая в начальной школе форма записи: 6 кв. дм х 4 = 24 кв. дм.
Задаем ученикам вопросы:
- Для чего надо измерить длину? (Для того, чтобы узнать, сколько квадратных единиц можно уложить в одной полосе.)
- Для чего надо измерить ширину? (Для того, чтобы узнать, сколько равных полос уложится в прямоугольник.)
- Для чего надо перемножить полученные числа? (Для того, чтобы узнать, сколько квадратных единиц содержится в площади прямоугольника.)
П. И. Сорокин рекомендует запись 20 х 16 = 320 (кв. см). Мы полагаем, что сначала должна применяться запись 6 кв. дм х 4 = 24 кв. дм, вытекающая из хода рассуждений. А после решения ряда задач и сознательного усвоения хода рассуждений можно перейти к вычислению площади по правилу и к записи вида: а х Ь = с (кв. ед.).
Прежде чем перейти к формулировке правила вычисления площади прямоугольника, необходимо еще рассмотреть случай, когда стороны прямоугольника выражены в единицах различных наименований. Наконец, формулируется правило:
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, надо измерить одной и той же мерой его длину и ширину и полученные числа перемножить. Полученное в произведении число покажет, сколько квадратных единиц содержится в данном прямоугольнике. Не надо спешить с заучиванием правила. Пусть ученики некоторое время решают задачи на основе тех рассуждений, которые имели место при выводе правила. Среди задач на вычисление площади должны быть и задачи на вычисление периметра, чтобы разграничить эти понятия. В некоторых задачах содержится требование найти периметр и площадь. При изучении этой темы материал для упражнений можно взять из жизни колхоза, предприятия, школы и т. д.
Ценны задачи, решаемые на основе данных, полученных непосредственным измерением, которые выполняют ученики в классе, школе, дома, на участке, во время экскурсии. Многие задачи иллюстрируются чертежами, выполненными в определенном масштабе; к другим задачам ученики сами должны сделать чертеж, выбрав подходящий масштаб.
После решения некоторого числа задач с применением единиц, не превышающих квадратного метра, переходят к знакомству с мерами земельных площадей. Для конкретизации представления об аре следует организовать построение на местности участков в форме квадрата со стороной 10 м и прямоугольников со сторонами 20 м и 5 м; 25 м и 4 м. Желательно построить на местности и гектар или, если это трудно, участок, составляющий часть гектара, например 1/4 га.
Для конкретизации таблицы квадратных мер желательно иметь плакат в виде 1 кв. м, разделенного на 100 кв. дм. Полезно отметить во дворе школы или поблизости от нее участок в 1 ар как ориентир для глазомерного определения площади на местности.
В классной работе должны найти место самые различные упражнения для глазомерного определения площади. Учитель чертит на доске прямоугольник (квадрат), учащиеся на глаз определяют его площадь, после проверки выясняется, у кого лучше глазомер. Учитель вызывает к доске нескольких учеников и предлагает начертить на глаз прямоугольник (квадрат) заданной площади. Определяются на глаз площади поверхности предметов в классной обстановке. Разумеется, что этими упражнениями надо руководить, постепенно их усложняя.
Полезны упражнения на определение площади фигур произвольной формы, заданных на клетчатой бумаге со стороной клеток 1 см
Задание выполняется путем подсчета числа квадратных сантиметров, причем каждые две половины клеток дают 1 кв. см. (рис. 77).
рис. 77
Приближенное определение площади возможно для фигур с неправильным контуром (рис. 78).
рис. 78
Приближенное измерение площади можно выполнить при помощи палетки, то есть прозрачной пластинки, разделенной на квадратные единицы. Для демонстрационной палетки удобно деление на квадратные дециметры, а для самостоятельной работы учащихся — на квадратные сантиметры. Для объяснения применения палетки на доске даются чертежи фигур, заштрихованных мелом. Для первых упражнений надо брать фигуры, составленные из прямоугольников и квадратов. При подсчете, если часть фигуры меньше половины квадратной единицы, ее отбрасывают, если же больше или равна половине, то принимают за целую квадратную единицу. Аналогичные упражнения выполняют ученики самостоятельно.
Такие упражнения конкретизируют представления детей о мерах площадей, развивают глазомер и знакомят их с приближенными величинами.
Среди решаемых задач должны быть и такие, в которых прямоугольный участок разбит на несколько частей, имеющих форму прямоугольников и квадратов, а в задаче требуется определить площадь каждого участка. Пусть, например, дана задача. По указанным на чертеже размерам определить, сколько гектаров отведено под каждую культуру (рис. 79).
рис. 79
Решив задачу, следует вычислить площадь всего участка и убедиться в том, что площадь всей фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она составлена. Таким образом выясняется второе основное свойство площади.
При решении задач, в которых нужно определить площадь фигур, составленных из прямоугольников и квадратов, желательно подобрать такие фигуры, чтобы их можно было разбить на части различными способами (не только сложением частей, но и вычитанием из целого части). При этом некоторые способы могут оказаться наиболее рациональными. Такие фигуры могут, например, иметь вид, указанный на рисунках 80, 81
рис. 80
рис. 81
П. А. Карасев предлагает выпускать тетради с разлиновкой в клетки по 1 кв. см. Пользуясь такой сеткой, рекомендуется вычислять площади различных фигур.
Из рисунка 82, а видно, что площадь прямоугольного треугольника А Б В составляет половину площади прямоугольника АБВГ. Остальные случаи могут быть также сведены к разложению фигуры на прямоугольные треугольники.
рис. 82
В результате изучения темы Измерение площади учащиеся должны получить понятие о площади как о величине качественно новой по сравнению с длиной и знать о необходимости особых единиц для ее измерения.
- Уметь непосредственно и косвенным путем измерять площадь прямоугольника и квадрата.
- Уметь вычислять площадь треугольника, а также фигур, составленных из прямоугольников, квадратов, треугольников
- Иметь конкретные представления о мерах площади, их соотношениях, некоторые навыки глазомерного определения площади.
- Уметь приближенно вычислять площадь с помощью палетки.
