Уже при первоначальном ознакомлении детей с составной задачей, в 1 классе, целесообразно использовать аналитический приём, ведя детей от готовой задачи в два действия к составляющим её простым задачам. Специфика такой задачи в том, что её нельзя решать сразу, одним действием, как это делается при решении простой задачи. Если при первом знакомстве с составной задачей отправляться от готовой задачи в два действия, то разница между простой задачей и сложной выступает с полной отчётливостью.
Для начала можно взять такую задачу, которую удобно проиллюстрировать на предметах:
«В коробку положили 6 красных карандашей и 4 синих. Потом из этой коробки взяли 7 карандашей. Сколько карандашей осталось в коробке?»
Учитель показывает детям сначала 6 красных карандашей, потом 4 синих и записывает эти числовые данные на доске . Затем он складывает карандаши в коробку. Дети не видят, сколько их всего. После этого учитель вынимает 7 карандашей. Это третье данно е он также записыв ает на дос ке, а главное искомое остаётся скрытым в коробке.
Учащиеся повторяют задачу, выделяют вопрос и решают задачу в уме, как они привыкли это делать по отношению к простым задачам. У всех получается правильный ответ: 3 карандаша.
Учитель . Как мы узнали, что в коробке осталось 3 карандаша?
Ученик . От 10 карандашей мы отняли 7 карандашей и получили 3 карандаша.
Учитель (обращаясь к доске, где записаны числовые данные): Откуда вы взяли 10? Ведь такого числа в задаче нет?
Ученик . К 6 карандашам надо прибавить 4 карандаша и получится 10 карандашей.
Учитель . Что мы узнали, складывая 6 карандашей и 4 карандаша?
Ученик . Мы узнали, сколько было всего карандашей в коробке.
Учитель . Вот видите — сначала мы узнали, сколько было всего карандашей в коробке; для этого мы сложили 6 карандашей и 4 карандаша:
1) 6 кар. + 4 кар. = 10 кар.
Это — первое действие. Потом мы узнали, сколько карандашей осталось; для этого мы от 10 карандашей отняли 7 карандашей:
2) 10 кар. — 7 кар. = 3 кар.
Это — второе действие. Итак, сколько приходится выполнить действий для того, чтобы решить эту задачу?
Ученик . Два действия.
Учитель . Что мы узнали первым действием? Вторым действием?
В заключение учитель подчёркивает, что некоторые задачи можно решить сразу, одним действием. Но бывают задачи, которые нельзя решить сразу — приходится сделать сначала одно действие, потом другое; например, сначала сложить, потом отнять.
С этого времени перед решением 20 руб.
каждой задачи дети устанавливают, можно ли её решать сразу. Если выясняется, что — нельзя, то учитель спрашивает, а что можно узнать сразу?
Так дети впервые начинают
применять простейший 5 руб. 6 руб.
анализ . Вопрос «можно ли решить задачу сразу?» побуждает детей подбирать данные к вопросу; это момент аналитический. Следующий вопрос «а что можно узнать сразу?» побуждает детей подбирать вопрос к данным; это момент синтетический. Ведущим здесь является анализ.
В дальнейшем этот простейший анализ несколько углубляется путём введения дополнительного вопроса «почему» («почему нельзя сразу узнать, сколько карандашей осталось?»).
Решаем задачу: «Мать купила детям мяч за 5 руб. и барабан за 6 руб. Сколько сдачи получила она с 20 рублей?»
Рисунок, начерченный учителем на доске, поясняет текст задачи, но не иллюстрирует самих чисел.
Разбирая эту задачу, учитель ставит следующие вопросы:
Учитель . Можно ли сразу узнать, сколько получено сдачи?
Ученик . Нет, нельзя.
Учитель . Почему нельзя узнать этого сразу?
Ученик . Потому что мы не знаем, сколько всего надо уплатить за мяч и барабан.
Учитель . А сколько нужно уплатить за мяч и барабан — можно узнать сразу?
Ученик . Да, это можно узнать сразу.
Привыкнув к вопросу «почему», дети начинают анализировать задачу, не ожидая этого вопроса от учителя. Они рассуждают так: «Сразу нельзя узнать, сколько мать получила сдачи, потому что мы не знаем, сколько всего нужно уплатить за мяч и барабан. Но сколько всего нужно уплатить за мяч и барабан, это можно узнать сразу. Поэтому задачу будем решать так: сначала узнаем, сколько всего уплатила мать за мяч и барабан; потом узнаем, сколько мать получила сдачи с 20 рублей».
Решив составную задачу, дети составляют простые задачи, на которые им пришлось расчленить данную составную. Так, решив вышеуказанную задачу, дети записывают её решение:
Задача.
1) 5 руб. + 6 руб. – 2 руб.
2) 20 руб. – 2 руб. = 9 руб.
Ответ: 9 руб.
Теперь учитель предлагает детям составить задачи к каждой строчке.
1-я задача: «Мяч стоит 5 руб., а барабан 6 руб. Сколько стоят вместе мяч и барабан?»
2-я задача: «Мяч и барабан стоят 2 руб. В кассу же дано 20 руб. Сколько нужно получить сдачи?»
Так уже в 1 классе дети научаются расчленять составную задачу на две простые.
Во 2 классе дети начинают решать задачи в три действия. Простейшими задачами этого рода являются задачи, в которых требуется произвести умножение, а затем вычитание или сложение. Например: «Купили 2 тарелки по 4 руб. и 5 ложек по 2 руб. Сколько стоила вся покупка?»
При анализе подобного рода задач нужно научить детей тому, чтобы они указывали оба числа, которые мы не знаем и которые нужно знать, чтобы решить задачу сразу. Обычно дети называют только одну неизвестную величину. Тогда учитель спрашивает дополнительно: «А ещё почему?» Этого вопроса достаточно, чтобы дети назвали обе неизвестные величины — в данном случае стоимость тарелок и стоимость ложек.
При разборе более трудных задач в 3 действия одна из самых распространённых ошибок состоит в пропуске промежуточного логического звена.
Возьмём задачу: «В одной корзине было 40 яблок, а в другой на 10 яблок больше. Все эти яблоки разложили в ящики по 30 яблок в каждый. Во сколько ящиков разложили эти яблоки?»
Анализ проводится обычно следующим образом:
Учитель . Можно ли сразу узнать, сколько ящиков понадобилось, чтобы уложить все яблоки?
Ученик . Нельзя, так как мы не знаем, сколько яблок было во второй корзине.
Учитель . А разве в ящики положили яблоки только из второй корзины?
Ученик . Нет, в ящики положили яблоки из двух корзин. Значит, мы не можем сразу решить задачу потому, что не знаем, сколько яблок было в двух корзинах.
Учитель . Можно ли сразу узнать, сколько яблок было в двух корзинах?
Ученик . Нет, так как мы не знаем, сколько яблок было во второй корзине.
Учитель . Можно ли сразу узнать, сколько яблок было во второй корзине?
Ученик . Да, можно.
После этого составляется устный план решения этой задачи:
1) Сколько яблок во второй корзине? 2) Сколько яблок в двух корзинах?
3) Во сколько ящиков разложили эти яблоки?
Решение задачи записывается так:
Задача.
1) 40 ябл. + 10 ябл. = 50 ябл.
2) 40 ябл. + 50 ябл. = 90 ябл.
3) 90 ябл. – 30 ябл. = 3.
Ответ: 3 ящика.
Записав решение задачи, полезно, опираясь на запись действий, составить те простые задачи, на которые расчленена данная задача:
1) В одной корзине 40 яблок, в другой на 10 яблок больше. Сколько яблок во второй корзине?
И т. д.
Повторяем, при пользовании таким простым анализом главная обязанность учителя следить за тем, чтобы дети не пропускали при рассуждении промежуточных логических звеньев. Если учитель допускает такие ошибки и мирится с ними, то тем самым он приучает ученика быть неточным и тормозит развитие у детей логического мышления.
В 3 классе анализ задачи несколько усложняется и делается более полным, принимая ту форму, в какой он применяется на дальнейших ступенях обучения. Усложнение состоит в том, что ученик при разборе задачи научается называть не один (как это было в 1 и во 2 классах), а о б а компонента, необходимые для решения поставленного вопроса, независимо от того, известны они или неизвестны. Чтобы яснее обрисовать разницу в формах анализа во 2 и 3 классах, приведём пример разбора конкретной задачи.
«На 59 рублей купили 5 чашек по 7 рублей и 6 блюдец. Сколько стоит одно блюдце?»
Используем пр о сте йший ан ал из , применяемый во 2 классе:
Учите ль . Можно ли сразу узнать, сколько стоит одно блюдце?
Уч е ник . Нет, нельзя, так как мы не знаем, сколько заплатили за все блюдца.
Учите ль . Можно ли сразу узнать, сколько заплатили за все блюдца?
Уч е ник . Нет, так как мы не знаем, сколько стоили все чашки.
Учите ль . А стоимость чашек можно сразу узнать?
Уч е ник . Да, это можно узнать сразу.
Учите ль . Значит, какой будет первый вопрос? И т. д.
В связной форме, без наводящих вопросов учителя, рассуждение будет таково: «Сразу узнать, сколько стоит каждое блюдце нельзя, так как неизвестно, сколько заплатили за в се блюдца. Сколько заплатили за все блюдца, тоже нельзя узнать сразу, так как неизвестно, сколько стоят все чашки. Сколько стоят все чашки, можно узнать сразу, так как известно, что купили 5 чашек и что каждая чашка стоила 7 рублей».
Как мы видим, здесь только на последнем этапе рассуждения указываются оба компонента, поскольку оба они даны.
Используем полный анализ той же задачи (по наводящим вопросам):
Учите ль . Что спрашивается в задаче?
Ученик . В задаче спрашивается, сколько стоит одно блюдце.
Учите ль . Какие два числа надо знать, чтобы сразу решить этот вопрос?
Уч е ник . Надо знать, сколько блюдец купили и сколько за них заплатили.
Учите ль . Известны ли нам эти числа?
Уч еник . Нам известно, сколько блюдец купили (6 блюдец), но не известно, сколько стоили все блюдца.
Уч итель . Итак, мы должны узнать, сколько стоили все блюдца. Какие два числа надо иметь, чтобы сразу решить этот вопрос? И т. д.
Без наводящих вопросов в связном изложении ученика полный анализ будет иметь следующую форму:
«В задаче спрашивается, сколько стоит каждое блюдце. Чтобы решить этот вопрос, надо знать, сколько стоят все блюдца и сколько блюдец купили. Сколько блюдец купили, нам известно — 6 блюдец. А сколько стоят все блюдца, нам неизвестно. Чтобы узнать, сколько стоят все блюдца, надо знать, сколько стоит вся покупка и сколько стоят чашки. Сколько стоит вся покупка, нам известно — 59 рублей, а сколько стоят чашки, нам неизвестно. Для того чтобы узнать, сколько стоят все чашки, надо знать, сколько стоит одна чашка и сколько чашек купили. Оба эти числа нам известны. Итак, первый вопрос задачи — «Сколько стоят все чашки?» И т. д.
Как мы видим, здесь на каждом этапе рассуждения ученик называет те данные, которые необходимы для решения вопроса. Такая полная, стройная и законченная форма рассуждения даётся детям не сразу и не без труда. К ней нужно основательно подготовить ученика. Той подготовки, которая велась на протяжении 1 и 2 класса, недостаточно. Нужны новые упражнения, на которых следует показать, что а) для решения задачи надо выполнить над числами одно или несколько арифметических действий и что 2) в каждом случае для выполнения действия необходимо иметь два числа. Это показывается на простых задачах троякого вида, которые могут встретиться при анализе составных задач:
1) оба числа, необходимые для решения поставленного вопроса, неизвестны;
2) одно число известно, другое неизвестно;
3) оба числа известны.
Упражнения лучше начать с задач, в которых одно число известно. Например: «Мальчик сорвал 8 яблок с одной яблони и несколько яблок с другой. Сколько всего яблок сорвал мальчик?». Задача разбирается.
Уч итель . Можно ли решить эту задачу?
Ученик . Нельзя.
Уч итель . Почему нельзя её решить?
Уч еник . Потому что мы не знаем, сколько яблок мальчик сорвал с другой яблони.
Уч итель . Сколько же чисел надо иметь, чтобы решить эту задачу?
Уч еник . Надо иметь два числа.
Уч итель . И каким действием она решается?
Ученик . Сложением.
В ы в од . Чтобы узнать, сколько всего сорвано яблок, надо знать: сколько сорвано с одной яблони и сколько сорвано с другой яблони. После этого учитель называет второе число, допустим, 12 яблок, и ученики решают задачу.
Так разбираются ещё три задачи — на вычитание, умножение и деление.
Второй этап подготовительных упражнений — работа над простыми задачами без числовых данных.
Например: «На полке лежали книги. Несколько книг сняли с полки. Сколько книг осталось?»
Из разбора этой задачи делается вывод, который формулируется так: «Чтобы узнать, сколько книг о стал о с ь , надо знать, сколько книг лежало сначала и сколько книг сняли».
Третий этап подготовительных упражнений — работа над простыми задачами, в которых оба числа даны.
Например: «Купили 5 кг сахару по 15 руб. за килограмм. Сколько стоит покупка?»
На этой задаче ученик учится рассуждать в следующей форме: «Для того чтобы решить задачу, надо знать, сколько килограммов сахару купили и сколько стоит 1 килограмм. Оба числа нам известны. Чтобы решить задачу, надо 15 pv6. умножить на 5, получится 75 руб. Ответ: 75 руб.
Полезно иллюстрировать решение этой задачи так, как указано на рисунке.
Проделав упражнения в анализе на простых задачах, нужно перейти к анализу задач в два действия, а затем и в тр и де йствия .
Анализ задач в три действия представляет собой довольно длинное рассуждение. Для того чтобы ученики не теряли нити в рассуждении, его нужно разбивать на отдельные звенья, иллюстрируя их наглядными образами. Роль такого образа может играть схема, состоящая из кружочков, заполненных числовыми данными задачи и вопросительными знаками для обозначения неизвестных. Вместо того, чтобы рисовать кружки на доске, можно заготовить их заранее из плотной бумаги (например, из обложек старых тетрадей) разного цвета.
Полезно вначале для упражнений в полном анализе решить 5 — 6 таких задач, в которых анализ иллюстрируется схемой, имеющей симметричный вид. Например: «Магазин продал в один день 40 ящиков винограда по 18 кг в каждом ящике, а в другой день 20 ящиков по 12 кг.
Сколько всего килограммов винограда продал магазин за два дня?»
Первое звено анализа этой задачи подготовлено работой над простыми задачами, в которых оба числа неизвестны. Их места займут кружки с вопросительными знаками. Второе и третье звено — анализ простых задач на умножение с известными данными.
Запись решения на доске будет иметь следующий вид:
Задача.
1-й день — 40 ящ. по 18 кг
2-й день — 20 ящ. по 12 кг
Разбор задачи производится при помощи рисунка (см. на стр. 490). План и решение.
1) Сколько винограда продано в 1-й день?
18 кг х 40 = 720 кг.
2) Сколько винограда продано во 2-й день?
12 кг х 20 = 240 кг.
3) Сколько винограда продано в два дня?
720 кг + 240 кг = 960 кг.
Ответ: 960 кг.
После сообщения задачи, записи числовых данных и повторения условия учитель говорит: «Теперь мы разберём задачу». Прежде всего выделяется вопрос задачи.
Учите ль . Обозначим этот вопрос кружком с вопросительным знаком. Что надо знать для того, чтобы решить вопрос задачи?
Ученик . Надо знать, сколько продали винограда в первый день и сколько во второй день.
Учите ль (чертит на доске две стрелки и к каждой стрелке по кружку). Известно ли нам, сколько продали винограда в первый день и сколько продали во второй день?
Ученик . Нет, неизвестно.
Уч итель . Что надо знать, чтобы решить каждый из этих вопросов?
Уч еник . Надо знать, сколько ящиков продавали и сколько килограммов было в каждом ящике.
Уч итель (чертит две стрелки от правого кружка и две стрелки от левого кружка, по одному кружку к каждой стрелке). Знаем ли мы, сколько
ящиков продали в первый день и по сколько килограммов было в каждом ящике?
Уч е н ик . Знаем. В левый кружок надо записать 40, а в правый 18.
Учитель . Знаем ли мы, сколько ящиков продали во второй день и по сколько килограммов было в каждом ящике?
Уч е н ик . Знаем. В левый кружок надо записать 20, а в правый 12.
Анализ закончен. Теперь надо перейти к составлению плана. Дети повторяют вопросы, а учитель ставит римские цифры около соответствующих кружков. После этого следует запись решения в тетрадях.
Черчение схемы анализа на доске производится учителем. Но позднее можно научить детей чертить такие схемы в тетрадях, посвятив этому вопросу отдельный урок. Чтобы не терять времени на черчение схем в классе, можно задать эту работу на дом.
В 4 классе применение аналитического способа разбора задач продолжается. Здесь анализ осложняется в двух отношениях: с одной стороны, берутся более трудные задачи, с другой стороны, от учащихся требуется в формулировке рассуждений большая самостоятельность. Анализируя задачу, ученик связно рассуждает, поясняет разбор задачи чертежом на доске, или, если задача решена дома, рассуждает вслух, глядя на чертёж в тетради.
В начале года учащиеся 4 класса упражняются в анализе задач примерно той же степени трудности, что и в 3 классе. С некоторой осторожностью надо подходить к задачам с выражением больше или меньше на столько-то или во столько-то раз. Много таких задач решается в 3 и даже во 2 классе, но с применением простейшего анализа. В 4 классе они решаются с применением полного анализа. Здесь имеются в виду задачи следующего вида, например: «Самолёт пролетел в первый день 1 940 км, во второй на 340 км больше. В третий день он пролетел на 895 км меньше, чем в первые два дня вместе. Сколько километров пролетел самолёт в три дня?»
Разбирая эту задачу, нужно рассуждать так: «Для того чтобы ответить на главный вопрос задачи, надо знать: сколько километров пролетел самолёт в первый день (1 940 км), во второй (?) и в третий день (?).
Для того чтобы узнать, сколько километров самолёт пролетел во второй день, надо знать, сколько километров пролетел он в первый день (1 940 км) и на сколько больше во второй день (на 340 км).
Для того чтобы узнать, сколько километров пролетел он в третий день, надо знать: сколько километров он пролетел в первый и второй день вместе (?) и на сколько меньше он пролетел в третий день (на 895 км).
Для того чтобы узнать, сколько километров пролетел самолёт в первый и второй день вместе, надо знать, сколько километров он пролетел в первый день (1 940 км) и сколько во второй. Последний вопрос можно решить сразу. С него и начнём составление плана».
При переводе этого рассуждения на язык схемы последняя получается довольно сложной, поэтому применение её представляется нецелесообразным.
В 4 классе одновременно ведётся усиленная работа по усвоению учащимися зависимости между величинами, в особенности между теми из них, которые чаще встречаются в задачах и в практической жизни: между ценой, стоимостью и количеством, между расстоянием, скоростью и временем, между общим весом, количеством предметов и весом каждого предмета, между общим урожаем, урожаем с единицы площади и величиной площади и т. д.
На устном решении несложных задач дети усваивают: какую величину можно найти по двум данным величинам (по скорости и времени — расстояние; по цене и количеству — стоимость; по площади и общему урожаю — урожай с единицы площади — ара или гектара и т. д.); какие две величины надо иметь в качестве данных, чтобы определить искомую величину (для нахождения цены достаточно знать стоимость и количество; для отыскания пути , пройденного телом, достаточно знать скорость и время движения; для нахождения общего веса — весовую единицу и количество таких единиц и т. д.).
Знание зависимости между величинами является необходимым условием для успешного проведения анализа. Если дети слабо разбираются в этом вопросе, их рассуждения будут сбивчивы и ошибочны.
Итак, облекая анализ задачи в определённую словесную форму, добиваясь от детей точных формулировок сначала в виде ответов на наводящие вопросы, позднее в виде связного рассуждения, мы создаём условия, при которых мышление формируется и развивается, а это в свою очередь является условием успешного решения задачи.
Источник:
Начальная школа. Настольная книга учителя – 1950, под редакцией проф.. М.А. Мельникова
