При переходе от абстрактного мышления к практике ученикам начальной школы приходится преодолевать значительные трудности. Однако опыт показывает, что эти трудности преодолимы при условии использования соответствующих методов обучения.
В полном соответствии с теорией познания находится учение И. П. Павлова о высшей нервной деятельности. Согласно этому учению связь человека с внешним миром и познание этого мира происходят при помощи первой и второй сигнальных систем.
Учение И. П. Павлова о сигнальных системах имеет прямое отношение к процессу обучения математике, в частности к такой проблеме методики, как наглядность обучения. В самом деле, у ребенка конкретные представления об объектах и явлениях реальной действительности создаются на основе первой сигнальной системы. Применяя в процессе обучения математике различные наглядные средства, мы опираемся на первую сигнальную систему.
Речь, услышанная или прочитанная, — это вторые сигналы, сигналы сигналов. Цифры играют ту же роль, что и слова. Это тоже сигналы сигналов.
Наглядность может быть эффективной только тогда, когда она сопровождается разъяснением учителя. В этом случае вторая сигнальная система организует внимание учеников. Бессловесный показ не дает нужных результатов.
Однако, применяя словесные объяснения на уроках математики, применяя арифметические записи, учитель должен помнить, что работа второй сигнальной системы утомляет ученика значительно больше, чем непосредственное восприятие им предметов и явлений. Чем моложе ученик, тем относительно большее место приходится отводить предметной наглядности.
Рассуждения, выводы, правила, усвоенные в условиях работы первой сигнальной системы, применяются в дальнейшем без опоры на наглядность. Если же, пользуясь второй сигнальной системой, ученик допустил ошибку, необходимо вернуться к наглядности, восстановить связь с первосигнальным раздражителем.
Большое методологическое значение для начального обучения математике имеет также учение И. П. Павлова об ассоциациях, о системности, об аналитико-синтетической деятельности коры головного мозга.
Пропедевтическое изучение математики является важнейшей частью систематического курса математики в средней школе. В этом курсе в определенной системе собраны основные сведения из математики-науки. Поэтому естественно, что методологические основы методики этого предмета следует искать в самой математике как науке.
Известно, что одной из основ математической науки является теория множеств. Известно также, что учение о натуральном числе находится в органической связи с элементами теории конечных множеств. Собственно говоря, сама арифметика как наука сложилась в процессе эволюции человеческого общества в силу возникшей необходимости ориентироваться в окружающих человека множествах как в отношении их численности, так и в отношении упорядоченности. Эквивалентные между собой множества (множества, между элементами которых возможно установить взаимно однозначное соответствие) оказалось возможным охарактеризовать общим признаком—натуральным числом, а множества, не содержащие элементов,— числом нуль. Оказалось возможным и упорядочить множества, то есть установить определенную систему расположения их элементов, что обусловлено двойственной природой натурального числа (количественного и порядкового).
В жизни постоянно происходят различные изменения, связанные с конкретными множествами: происходят объединения множеств, удаление из множества его части, объединение эквивалентных между собой множеств, разъединение множеств на эквивалентные. Отражением этих операций над конечными множествами в арифметике и являются арифметические действия, которые производятся над характеристиками этих множеств — натуральными числами и нулем.
Умение выполнять арифметические действия (производить вычисления) дает возможность во многих случаях предсказывать результаты явлений, связанных с операциями над конкретными конечными множествами. Законы арифметических действий получают свое обоснование в соответствующих законах множественных операций. Таким образом, построение пропедевтического курса в тесной связи с элементами теории конечных множеств и с операциями над множествами тесно связывает изучение арифметики с жизнью, дает возможность опираться при обучении на жизненный опыт учащихся, обеспечивает необходимую наглядность обучения, выявляет полезную роль математической символики, обобщающей конкретное. Уже на этой ступени обучения можно иллюстрировать материальность изучаемых элементов математической науки, отражающей закономерности окружающей действительности. Детей этого возраста полезно знакомить с первыми элементами теории, приучать их обосновывать свои суждения, проверять и иллюстрировать эти суждения примерами из жизни.
