Если последовательно соединить несколько точек, расположенных так, чтобы их соединение дало замкнутую ломаную линию, то создается образ многоугольника: четырехугольника, пяти или шестиугольника и т. д. (рис. 67).
рис. 67
рис. 68
Приступая к изучению прямоугольника и квадрата, учитель строит на доске несколько выпуклых четырехугольников, чтобы выделить из них фигуры прямоугольника и квадрата (рис. 68).
Желательно раздать ученикам такие же фигуры, вырезанные из картона или бумаги, изготовленные заранее самими детьми. Выясняется сначала то общее, что имеется у всех этих фигур — 4 стороны и 4 угла. Отсюда название — четырехугольники. Затем устанавливается различие. Ученики, конечно, будут называть и несущественные признаки (размеры фигур, их расположение). Надо направить внимание детей на виды углов, затем последовательно рассмотреть фигуры, имеющие 1, 2 и 4 прямых угла. Отсюда название фигуры с четырьмя прямыми углами — прямоугольник.
Изучение свойств прямоугольника протекает на основе практических работ учащихся: измерения углов, сторон, перегибания по осям симметрии. Н. А. Менчинская и И. С. Якиманская указывают, что основной прием, применяемый обычно учителями при введении геометрических понятий — это выделение основных, существенных свойств фигуры, при этом не обращается внимание учеников на различное расположение фигур на плоскости, разное соотношение сторон и т. д. Это приводит к тому, что некоторые из учеников не получают правильного представления о фигурах. Это замечание имеет важное значение во всей методике преподавания геометрии и арифметики.
В частности, при изучении четырехугольников, чтобы отделить существенные признаки от несущественных, полезны такие упражнения: начертить несколько четырехугольников-с различной величиной сторон, углов, различно расположенных на плоскости, и установить в беседе с детьми, имеет ли значение для названия фигуры четырехугольник длина сторон, величина углов, расположение фигуры. Начертив целый ряд прямоугольников с самым различным соотношением сторон и расположением на плоскости, провести аналогичную беседу о существенных и несущественных признаках.
Изменив на чертеже у какого-либо прямоугольника величину одного из углов, выявить нарушение существенного признака. Удлинив на равную величину противоположные стороны прямоугольника, мы сохраняем существенные признаки. Точно так же сохраняем существенные признаки, изменяя окраску и материал, из которого изготовлены модели прямоугольников. Можно повернуть окрашенные с двух сторон в различные цвета прямоугольники и убедиться в сохранении основных свойств. Те же вариации нужно проделать и с квадратом. Аналогичные упражнения и беседы следует проводить при изучении других геометрических фигур.
Прямоугольники надо чертить в различном расположении: сначала по клеткам тетради с заданными или произвольными размерами сторон, затем эти, задания изменяются. Детям раздаются листочки нелинованной бумаги (их могут заготовить ученики старших классов), на которых имеются следующие чертежи (рис. 69).
рис. 69
Пользуясь чертежным треугольником, ученики проводят недостающие стороны прямоугольников.
Для того чтобы ученики могли абстрагировать форму от физических свойств, необходимо показать прямоугольники, отличающиеся друг от друга не только соотношением сторон или расположением на плоскости, но и материалом и окраской (из бумаги, стекла, картона, фанеры, железа, меди, проволоки т. д.)
Для измерения сторон прямоугольника можно использовать циркуль (рис. 70).
рис. 70
Из кусков проволоки учащиеся сгибают прямоугольники. Такое задание полезно связывать с вычислением суммы длин всех сторон. При этом можно ввести термин периметр. Большое количество практических задач связано с вычислением периметра: длина забора, ограды, границ пришкольного участка, физкультурной площадки и т. д. Параллельно с этим должны быть задания, в которых ученикам предлагается к данной задаче выбрать масштаб и сделать чертеж. Наряду с этим должны быть задачи на вычисление границ фигур, составленных из прямоугольников или прямоугольников и квадратов (см. рис. 71), а также в форме прямоугольников, разбитых на несколько частей (рис. 72).
рис. 71
рси. 72
Размеры либо указывают на чертеже, либо их требуется найти, применив линейный масштаб. Ученики должны уметь найти размеры но чертежу, а затем полученные результаты перевести по масштабу. Должны иметь место и задания: по данному периметру построить прямоугольник (квадрат). Если, например, задан периметр 24 см, то стороны могут быть равны 1 см и 11 см; 2 см и 10 см; З см и 9 см; 4 см и 8 см; 6 см и 7 см; 6 см и 6 см (квадрат как частный случаи прямоугольника).
При помощи циркуля выполняется выпрямление сторон прямоугольника и треугольника (рис. 73).
рис. 73
Можно ввести обозначение вершин фигуры буквами русского алфавита и чтение фигуры АБВГ и ее сторон: АБ и ВГ; АГ и БВ противолежащие стороны; АБ = ВГ, АГ = БВ; АГ > АБ или АБ < АГ.
Взаимное расположение точки и фигуры дается на упражнениях: отметить точку (точки) внутри фигуры, на сторонах фигуры, вне фигуры. Построенные точки соединить с вершинами фигуры.
Ученики определяют, какие вершины являются противоположными, соединяют их, измеряют полученные отрезки (диагонали), убеждаются в их равенстве и в том, что эти отрезки при взаимном пересечении делятся пополам. Эти упражнения можно выполнить перегибанием прямоугольного (квадратного) листа бумаги. Они знакомят с осевой и центральной симметрией.
Прямоугольник и квадрат можно показать как грани куба, параллелепипеда, прямой призмы как форму ряда предметов в классе и вне класса, что покажет детям, как широко распространен прямоугольник.
Полезны упражнения комбинированного и конструктивного характера, предложенные П. А. Карасевым. Даны фигуры вида, указанного на рисунке 74, а.
Предлагается взять определенное число фигур указанного вида и сложить квадрат, прямоугольник, треугольник.
Фигуры могут быть заготовлены детьми по заданию учителя, с указанием размеров и формы. Получается множество интересных сочетаний (см. рис. 74,6)
рис. 74
Ученики сами складывают различные фигуры. Такие упражнения вызывают большой интерес у детей и развивают их пространственное воображение.
При изучении прямоугольника (квадрата) должны быть задания на развитие глазомера: определение на глаз длины сторон и периметра фигуры.
Геометрический материал очень важно дополнить фигурами круга и окружности, которые необходимы на уроках арифметики, рисования и труда. Дети должны знать центр, радиус и диаметр окружности уметь начертить окружность заданного радиуса (рис. 75).
рис. 75
В результате таких упражнений дети получат следующие понятия и умения.
- Общее понятие о многоугольнике, четырехугольнике, о различных видах четырехугольников.
- Понятие о прямоугольнике и квадрате как частных видах четырехугольников. Их свойства. Сходство и различие.
- Умение строить прямоугольник и квадрат по клеткам и на нелинованной бумаге.
- Умение вычислить периметр прямоугольника и квадрата, в том числе и с применением масштаба.
- Умение преобразовывать и комбинировать фигуры, образуя их из треугольников, прямоугольников и квадратов.
- Некоторые понятия о треугольниках, их элементах, об окружности и ее элементах.
- Умение находить указанные формы на предметах окружающей обстановки.
