Де ле ние на о дно значно е ч ис ло — пе р вая ступень в изучении сложного механизма письменного деления. На этой ступени дети усваивают все основные элементы процесса деления и его порядок; они узнают, что деление начинается с высших разрядов делимого, от деления каждого разряда в частном получаются единицы соответствующих разрядов; если какой-нибудь разряд делимого не делится нацело и в частном не получается единиц соответствующего разряда, то ставят нуль; найдя цифру частного, умножают её на делитель и узнают, какое число разделили; путём вычитания находят остаток; остаток не должен быть больше делителя; раздробив остаток и присоединив к нему единицы очередного разряда делимого, составляют новое неполное делимое, с которым поступают так же, как с первым неполным делимым, и т. д. Всё это усваивается практическим путём, постепенно, на решении примеров.
Образец объяснения и записи решения примера 2736/6.
«В делимом высший разряд — тысячи, 2 тысячи. 2 тысячи на 6 не делится так, чтобы получилось хотя бы по одной тысяче. Отделяем в делимом две цифры, получаем 27 сотен. Делим 27 сотен на 6. Получается в частном 4 сотни. Умножаем 4 на 6, чтобы узнать, сколько сотен мы разделили. Четырежды 6 = 24. Вычитаем 24 из 27. В остатке получилось 3 сотни. Раздробляем 3 сотни в десятки, получаем 30 десятков, прибавляем к ним 3 десятка делимого, получится всего 33 десятка. Делим их на 6, в частном получится 5 десятков. Пятью 6 = 30», и т. д.
В дальнейшем, когда дети достаточно отчётливо поймут значение и смысл каждой отдельной вычислительной операции, в эту схему рассуждений вносятся некоторые упрощения, делающие её более краткой. Так, ученик, посмотрев на делитель, может сразу сказать: «Отделяем в делимом 2 цифры и делим 27 сотен на 6». Далее, получив в остатке 3 сотни, ученик может сказать: «Сносим 3, получим 33 десятка».
Но в сегда нужно требовать, чтобы ученик называл разряды неполных делимых и разряды частного: «Делим 27 сотен, в частном получится 4 сотни».
Запись деления на первых порах должна быть подробной, как указано выше. Цифры делимого сносятся строго по вертикали. Произведения записываются. Знаки вычитания не обязательны. Когда учитель убедится в понимании детьми способа деления и перейдёт к упражнениям, он переводит детей на более краткую запись деления, при которой произведения не записываются, а вычитаются устно из неполных делимых. Например:
В дальнейшем можно применять ещё более краткую запись в стр очку, когда не записываются ни произведения, ни остатки: 2736 – 6 = 456.
Среди примеров должны быть и такие, в которых при делении получается остаток, например:
Остаток к частному не приписывается.
Учитель обращает внимание детей на то, что остатки должны быть меньше делителя; если в остатке получилось число большее делителя, то это значит, что в частном взята неверная цифра.
Особое внимание должно быть обращено на те случаи деления, в которых в частном пишутся нули — в середине и в конце:
Для того чтобы не допускать ошибок, связанных с пропуском нулей в частном, дети должны твёрдо усвоить, что если какой-нибудь разряд делимого не делится на делитель, то в частном не будет единиц этого разряда и, значит, в частном на месте этого разряда надо поставить нуль.
Для предупреждения подобных ошибок существует ряд методических приёмов и средств, а именно:
а) умение по первой цифре частного определить, сколько всего цифр должно быть в частном;
б) обозначение точками мест каждого разряда в частном;
в) умение определить приближённую величину частного до фактического деления данного числа;
г) проверка деления путём умножения частного на делитель.
Учитель должен использовать если не все, то некоторые из этих приёмов.
При делении 5241 на 2 полезно предварительно определить приближённую величину частного. Это должно предупредить ошибку — пропуск нуля в конце частного.
Таким образом, изучая деление на однозначное число, учащиеся усваивают большинство понятий, связанных с механизмом письменного деления.
Деление на единицу с нулями . Возьмём два примера: 4680 – 10 и 7324 – 10. Разделить 4680 на 10 — это значит узнать, сколько раз 10 содержится в 4680 или сколько десятков в этом числе. В 4680 — 468 десятков. Значит, 4680 – 10 = 468.
При делении 7324 – 10 рассуждаем таким же образом и приходим к тому, что деление 7324 на 10 даёт в частном 732 и в остатке 4. 7324 – 10 = 732 (ост. 4).
Рассмотрев ещё несколько примеров деления на 100 и на 1 000, можно вывести правило: «Для того, чтобы разделить число на единицу с нулями, достаточно отделить в делимом справа столько цифр, сколько нулей в делителе; тогда оставшиеся цифры делимого изобразят частное, а отделённые — остаток».
Деление числа на единицу с нулями записывается всегда только в строчку.
Де ле ние на круглые де сятки , с отни , тысячи . В тех случаях, когда делимое и делитель оканчиваются нулями, последние не зачёркиваются, не сокращаются, числа делятся такими, какими они даны. Важно, чтобы учащиеся научились находить цифру частного на основе зависимости между умножением и делением: 560, делённые на 70, дадут в частном 8, потому что 8 раз по 70 будет 560. 3 200, делённые на 800, дадут в частном 4, потому что 4 раза по 800 будет 3 200 и т. д.
При делении на круглые десятки различаются два случая:
1. Первые две цифры делимого изображают число, делящееся на делитель, например: 960- 80.
С этого случая начинается обучение делению на круглые десятки.
2. Первые две цифры не делятся на делитель и приходится отделять в делимом три цифры, например: 2150 – 50.
Деление на круглые сотни изучается по тому же плану, по какому изучалось деление на круглые десятки: сначала рассматриваются такие случаи, когда в делимом первые 3 цифры составляют число, делящееся на делитель (круглые сотни), 800 – 200; 9600 – 300; 8470 – 400.
Затем решаются такие примеры, в которых в делимом приходится отделять 4 цифры, чтобы найти первую цифру частного: 4320 – 600; 22500 – 500.
При решении этих примеров нет надобности прибегать к упрощённым приёмам нахождения цифры частного, частное находится способом проб на основе связи деления с умножением; так, деля 4320 на 600, ученик учитывает, что в делимом 43 сотни, а в делителе 6 сотен. Сколько раз нужно взять по 6 сотен, чтобы получить 43 сотни? 7 раз (7 раз по 6 сотен — 42 сотни).
Де ле ние на д вуз начно е ч ис ло . Чтобы уметь делить лю бо е многозначное число на двузначное, нужно уметь делить двузначное число на двузначное и трёхзначное на двузначное при однозначном частном. В самом деле, чтобы разделить 7840 на 32, приходится делить: а) 78 на 32, б) 144 на 32 и в) 160 на 32.
Деление двузначного числа на двузначное пройдено при изучении сотни. Теперь нужно объяснить детям приём письменного деления трёхзначного числа на двузначное при однозначном частном. При объяснении особое внимание уделяется вопросу о том, как можно упрощённым способом быстро и правильно находить цифру частного (делить десятки делимого на десятки делителя и испытывать цифру частного, внося в неё соответствующие поправки).
Объяснение и упражнения можно провести на следующей группе примеров:
В этом примере для нахождения цифры частного достаточно разделить число десятков делимого на десятки делителя (56 / 7 = 8).
На примерах этого типа показывается, что и при наличии в делимом е диниц способ нахождения цифры частного остаётся тот же: д е сятки делимого делят на цифру десятков делителя (42 ^ 6 = 7).
Делитель 41 близок к круглому числу 40, поэтому для того, чтобы легче и скорее найти в этом примере частное, делим 32 десятка на 4 десятка. Полученную цифру «8» испытываем, будет ли она верна и при делении 328 на 41. Умножаем устно 41 на 8. Получаем 328. Значит, цифра 8 будет частным при делении данных чисел. Пишем её в частное.
Таких примеров, в которых делитель — легко округлимое число (31; 62; 73; 51; 82; 24 и т. д.), нужно решить возможно больше, чтобы дети хорошо усвоили приём быстрого нахождения цифры частного.
На примерах этого типа показывается, что не всегда цифра частного находится ср азу путём деления десятков делимого на десятки делителя; иногда приходится после испытания этой цифры уменьшить её на единицу; так 24, делённое на 3, даёт 8; однако проверка показывает, что цифра 8 не годится: она велика, её нужно уменьшить на единицу.
На примерах этого типа показывается, что в тех случаях, когда цифры единиц делителя 7, 8 или 9, полезно округлять делитель до высшего круглого числа, иначе говоря, увеличивать цифру десятков на единицу.
Действительно, деля 27 на 3, получаем число 9, которое приходится потом уменьшать на 2 единицы, в то время как, разделив 27 на 4, мы сразу находим цифру частного.
После того как дети овладеют навыком деления трёхзначного числа на двузначное, нужно перейти к упражнению в делении любого многозначного числа на двузначное.
Среди примеров с двузначным делителем видное место должны занимать примеры, в которых получается частное с нулями в середине и в конце:
Деление на трёхзначное число . Деление многозначного числа на трёхзначное в конечном счёте сводится к ряду делений трёх- и четырёхзначных чисел на трёхзначное. Например, процесс деления числа 107 442 на 254 распадается на следующий ряд делений:
Следовательно, чтобы правильно производить деление многозначного числа на трёхзначное, нужно уметь делить:
а) трёхзначное число на трёхзначное и
б) четырёхзначное число на трёхзначное при однозначном частном.
При делении трёхзначного числа на трёхзначное нужно находить цифру частного на основе связи деления с умножением, ставя вопрос так: «сколько раз нужно взять делитель, чтобы получить делимое?».
Пусть, например, требуется разделить 804 на 268:
Разделить 804 на 268 — это значит узнать, сколько раз 268 содержится в числе 804. Может быть, 2 раза? Нет, потому что 2 раза по 268 даёт число немногим больше 500. Может быть, 3 раза? Да, 3 раза по 268 даёт 804. Как облегчить нахождение цифры частного? Нужно обратить внимание учащихся на то, что главное значение при нахождении цифры частного имеют высшие разряды, в данном случае сотни — 8 сотен в делимом и 2 сотни в делителе. 2 сотни содержатся в 8 сотнях 4 раза. Однако число «4» в качестве частного не годится, потому что в делимом, сверх 8 сотен, только 4 единицы, а в делителе, сверх 2 сотен, 68 единиц. Уменьшаем число 4 на единицу и получаем верное частное — 3.
На таких примерах дети учатся находить частное упрощённым способом и проверять его устно ; последнее очень важно для успешного деления любого многозначного числа на трёхзначное.
Умение упрощённым способом находить цифру частного имеет очень большое значение при делении четырёхзначного числа на трёхзначное. Пусть, например, дано разделить 1384 на 346. Сколько раз нужно взять по 346, чтобы получить 1384? Это сказать трудно. Но сколько раз нужно взять по 3 сотни, чтобы получить 13 сотен, — это определить легко: 4 раза. Не будем, однако, торопиться ставить эту цифру в частное. Сначала её проверим: она может оказаться верной при делении на 346, а может оказаться и не подходящей. Проверим устно , чтобы потом не исправлять, не зачёркивать эту цифру в случае её непригодности. Умножить устно 346 на 4 трудно. Чтобы облегчить устную проверку, возьмём только десятки делителя (34), умножим их на 4 и результат сравним с десятками делимого (138). 4 раза по 34 = 136. Сопоставив 136 и 138, видим, что число 4 можно взять в качестве частного.
Таким образом, упрощённый приём нахождения цифры частного при делении на трёхзначное число состоит в следующем: а) делим с отни делимого на число с отен делителя и испытываем найденную цифру путём устного умножения де сятков делителя на эту цифру.
Однако, применяя этот приём, нужно приучать детей к тому, чтобы они в то же время обращали внимание на делитель в целом, чтобы отдельные цифры не заслоняли всего числа.
Положим, надо решить следующий пример:
Было бы нецелесообразно испытывать здесь цифру 8 на том основании, что 24 – 3 = 8. Ведь число 396 без малого 400; 8 раз по 400 даёт 32 сотни, или 3200. Значит, 8 много. Цифра 7 тоже велика. 7 раз по 400 = 2800. Испытываем цифру 6. 6 годится. Эту цифру можно было найти сразу, округлив 396 до 400 и разделив 24 сотни на 4 сотни.
После такой подготовительной работы проводится упражнение в делении многозначного числа на трёхзначное, например: 51243 – 589; 410675 – 175 и др.
Решая такие примеры, нужно подчёркивать, что остатки должны быть не больше делителя; в процессе деления нужно следить за остатками и сравнивать их с делителем; если остаток равен делителю или больше его, то это значит, что в частном взята неверная цифра.
Как и при делении на двузначное число, здесь нужно давать достаточно большое количество таких примеров, где получается частное с нулями в середине и в конце; например:
В контрольные работы на деление включаются все основные случаи деления на однозначное число:
а) общий случай деления (76428 – 6);
б) частный случай — частное с нулём в середине (48312 – 8, частное — 6039);
в) частный случай — частное с нулями в середине и в конце (490630 : 7, частное — 70090);
г) деление с остатком (51087 – 9);
д) деление с остатком, причём в частном получается в конце нуль (3154 – 5, частное — 630, ост. 4).
Основные случаи деления на двузначное и трёхзначное число:
а) общий случай деления на двузначное число (37952 – 64);
б) общий случай деления на трёхзначное число (216221 – 463);
в) случай деления с нулями в середине и в конце частного (3673160 – 458, частное — 8020);
г) случай деления с остатком, когда в частном на конце должны быть поставлены нули (7012 – 14).
В 4 классе навыки письменного деления, приобретённые в 3 классе, должны быть закреплены и усовершенствованы. Усовершенствование навыка должно найти своё выражение в полной безошибочности вычислений, в более сознательном, уверенном и скором выполнении действия. При делении на однозначное число и на некоторые двузначные числа промежуточные вычислительные операции умножения и вычитания могут выполняться устно.
При делении чисел, оканчивающихся нулями, возможно применение способа сокращённого деления, например:
0
Объясняя этот случай деления, нужно опереться на известное свойство частного: частное не изменится, если делимое и делитель уменьшить в одинаковое число раз. При этом нужно тщательно объяснить изменение остатка, если деление с остатком.
Одновременно с закреплением навыков в JV классе происходит расширение и оформление п онятия д ел е ния как арифметического действия.
Изучается зависимость между делимым, делителем и частным. Знание этой зависимости используется для проверки деления. Изучается изменение частного с изменением данных; неизменяемость частного при одновременном увеличении или уменьшении делимого и делителя используется для обоснования приёма сокращённого деления чисел, оканчивающихся нулями.
Источник:
Начальная школа. Настольная книга учителя – 1950, под редакцией проф.. М.А. Мельникова
