Рассмотрим методы и приемы изучения отдельных геометрических тем.
Изучение прямой линии развивает один из основных компонентов пространственных представлений — понятие о линейной протяженности. Познание линейной протяженности формируется как на уроках математики, так и на уроках рисования, физкультуры, труда, начиная с первых шагов обучения. Эти знания развиваются в двух направлениях: в процессе измерительных операций и при оценке на глаз расстояний или соотношения размеров предметов. Когда дети рисуют предметы, то они сравнивают на глаз линейные соотношения их размеров.
Параллельно с этим измерительные операции уточняют их знания о протяженности, устанавливают связь между пространственными и количественными представлениями. Постепенно эти ассоциации крепнут, уточняются и развиваются представления о протяженности, сближаются результаты, полученные измерением инструментом и на глаз.
В программе для I класса геометрический материал не выделяется особой темой, но имеется указание на развитие пространственных представлений в процессе измерения. Уже на первых уроках можно познакомить учеников I класса с сантиметром и связать изучение чисел и процесс счета с построением отрезков и числовой осью
Экспериментальная работа, проведенная А. М. Пышкало в классах с обычным составом учащихся, показала возможность изучения понятия об отрезке и прямой линии уже в I и II классах, то есть задолго до введения определения этих понятий.
Образ прямой линии можно иллюстрировать при помощи натянутой нити или резинового шнура, ребер геометрических тел, следа на листе бумаги после перегибания его, следа движущейся точки. Ученики могут находить прямые линии на многих предметах, находящихся вокруг них в классе и вне класса, указывают случаи из практики, когда нужно прокладывать прямые линии (при постройке домов, сараев, заборов, дорог, при посадке деревьев и т. д.)
рис. 48
У школьников формируется понятие о прямой линии (неограниченной), о луче, ограниченном начальной точкой, и об отрезке, ограниченном с двух сторон (рис. 48)
рис. 49
Для уточнения этих понятий служат разнообразные упражнения. Например, на рисунке 49 дети должны найти прямую, луч, отрезок (прямая АБ, лучи ВА, ВБ, ГБ, ГА, отрезок ВГ).
рис. 50
Задание к рисунку 50 состоит в том, что ученики должны выполнить в своих тетрадях аналогичные чертежи и подписать под ними соответственно прямая, луч, отрезок.
Интересные упражнения, развивающие детей, можно провести, рассматривая отрезки на прямой (рис. 51). Учащиеся обычно видят только рядом расположенные отрезки. Между тем здесь можно найти отрезки АВ, АГ, БГ и др. Измерением дети убеждаются, что АБ + БВ = АВ и т. д.
рис. 51
Прямой линии следует противопоставить кривые линии, которые ученики также находят в окружающей обстановке. Строя отрезки в разных направлениях, они убеждаются, что наклонные линии также являются прямыми линиями.
рис. 52
В III классе полезно ввести понятие о ломаной линии, которое можно иллюстрировать задачей. По рисунку 52 вычислить расстояние от школы до библиотеки, двигаясь по улице (1 см считать за 80 м). Эти упражнения связаны с понятием о линейном масштабе.
Понятие о том, что кратчайшее расстояние между двумя точками есть расстояние по прямой, можно иллюстрировать на следующем примере. Какая из линий длиннее АБВДЕ или АЕ? Найдите длину каждой и сравните (рис. 53).
рис. 53
Построением ряда прямых, проходящих через одну точку, дети убеждаются в том, что таких прямых можно провести «много» (сколько угодно). После этого нетрудно подвести их к аксиоме о прямой, проходящей через 2 точки. Детям дают задания, которые показывают, что через 3,4 точки обычно нельзя провести одну прямую.
Понятие о горизонтальном и вертикальном направлении можно показать на сосуде с водой, в который погружена висячая на нитке гиря (рис. 54)
рис. 54
Наряду с построением пересекающихся линий, проходящих через одну точку, возможно задание на построение линий, которые надо продолжить до пересечения (рис. 55).
рис. 55
После этого можно дать понятие о непересекающихся линиях (параллельных). Для этой цели сначала используется построение прямых линий на клетчатой бумаге так, чтобы расстояния любой точки одной прямой до другой линии были равны, а потом и на нелинованной бумаге (рис. 56).
рис. 56
Образ непересекающихся прямых (сколько бы мы их ни продолжали) облегчит формирование понятия о возможности неограниченного продолжения прямой.
Построение отрезков следует связать с приобретением навыков обращения с чертежными принадлежностями (линейка, угольник, циркуль). Чертеж — это язык техники. Надо шире использовать чертежи в занятиях с детьми.
Практические работы с отрезками сближают арифметику с геометрией. Над отрезками выполняются все арифметические действия, при этом задания проверяются при помощи измерения и вычисления (рис. 57).
рис. 57
Запись: АБ + БВ = АВ; АВ — ЕК = КБ;
3 х АБ = АВ; АБ = АВ : 3.
При сравнении отрезков можно ввести запись (рис. 58):
рис. 58
Наряду со сравнением длины отрезков при помощи измерения надо вводить сравнение отрезков путем непосредственного наложения и при помощи измерительного циркуля (рис. 59).
рис. 59
Для развития более общих геометрических представлений полезны упражнения о взаимном расположении точек и прямой. Построить (отметить) точку на прямой, лежащую между двумя точками; вне данных точек; построить точку вне прямой; построить две точки вне прямой (по одну или по разные стороны от прямой) (рис. 60)
рис. 60
При помощи угольника можно построить наиболее короткий отрезок, соединяющий данные точку и прямую
Геометрическое зрение развивается и следующим упражнением: определить, в какие фигуры входит отрезок ГД (рис, 61)
рис. 61
Изучение прямой линии сопровождается упражнениями в развитии глазомера с постепенным усложнением их от класса к классу. Сначала ученики определяют на глаз длину отрезков, начерченных на доске, длину различных предметов, чертят на глаз отрезки заданной длины. Для того чтобы не было беспочвенного гадания, надо при определении расстояний на глаз ориентироваться на длину начерченных на доске или прикрепленных к ней цветных полосок в 1 метр, 1 дециметр, 1 сантиметр. Упражнения по развитию глазомера можно варьировать различными способами. Расстояния, определенные на глаз, проверяются измерением, устанавливается величина допущенной ошибки. Тем самым закладываются первичные понятия о приближенных величинах, о погрешности.
При измерении с помощью инструментов полезно предварительно оценивать на глаз ожидаемый результат. Упражнения по развитию глазомера способствуют выработке конкретных представлений о расстоянии, о мерах длины, поэтому такие упражнения надо проводить систематически.
Таково то направление, в котором может идти изучение прямой линии и отрезка прямой в начальной школе.
В результате указанных упражнений дети могут приобрести ряд понятий и знаний.
О точке дети должны знать, что она не имеет измерений; точки могут располагаться на прямой, вне прямой, по одну или разные стороны прямой.
Точка может ограничить прямую с одной стороны или с двух сторон.
Линия имеет только одно измерение — длину; туго натянутый резиновый шнур изображает прямую линию.
Прямая линия может быть продолжена сколько угодно в обе стороны, то есть она не имеет концов или границ (это хорошо показать, растягивая резиновый шнур).
Через две точки можно провести только одну прямую линию.
Через одну точку можно провести сколько угодно прямых линий.
Луч — это часть прямой линии, ограниченной с одной стороны.
Часть прямой, ограниченной с обеих сторон, называется отрезком.
Линия, состоящая из нескольких отрезков или из отрезков и лучей, называется ломаной.
Прямые линии, лучи, отрезки обозначаются буквами.
Прямые линии на плоскости могут пересекаться, могут пересечься при их продолжении, могут не пересекаться, сколько бы их ни продолжали (параллельные линии).
Отрезки могут быть равными и неравными. Их можно складывать, находить их сумму, разность; отрезки можно умножать на целое число, делить на равные части.
Учащиеся должны уметь пользоваться линейкой, циркулем, угольником для черчения, измерения и выполнения действий над отрезками, для черчения параллельных прямых.
