Овладение понятиями невозможно без выделения одних свойств и отвлечения от других. Причем обобщение и отвлечение совершаются вместе, в неразрывной связи друг с другом.
Но в учебной практике очень важное значение имеет и другой вид отвлечения, который осуществляется в процессе применения полученных знаний к решению задач, когда от школьника требуется найти уже известное ему понятие в новых для него условиях, когда ему нужно, узнать в данной арифметической задаче изученный ранее тип, выделить существенные особенности ее математической структуры, отбросив те несущественные признаки, которые затемняют или маскируют особенности изученного типа. Здесь мы имеем дело со вторым видом отвлечения, который приобретает значение самостоятельного процесса, поскольку он происходит отдельно от обобщения. Обобщение уже сформировалось, нужно только найти этот общий принцип,, вычленив его в новых конкретных условиях.
Различие этих двух видов отвлечения вызывает очень важные последствия и диктует разный подход к ним. То, что является наиболее трудным для ученика при выполнении первого вида отвлечения (назовем его «первичным»), оказывается, наоборот, более легким при осуществлении второго вида отвлечения (соответственно обозначим его как «вторичный»).
- В самом деле, когда формируется понятие о типе задачи, мы вынуждены начинать с более конкретной задачи, а затем вести учеников к задаче, носящей отвлеченный характер.
- Но, когда мы имеем дело со вторичным отвлечением, внесение в условие отдельных частных деталей только затруднит для ученика процесс решения, поскольку ему придется узнавать знакомую математическую структуру в более сложном конкретном явлении, отбрасывая несущественные детали.
- Необходимость отвлечения от большого количества несущественных с математической точки зрения деталей затрудняет решение задачи.
Следовательно, трудность задачи имеет разный психологический смысл в зависимости от того, формируется ли понятие вновь или предложено упражнение на применение изученного понятия в новых конкретных условиях. Отсюда вытекает и разная последовательность в предъявлении задач в одном и другом случае.
В двух различных видах отвлечения есть еще одна существенная сторона.
Когда выполняется первичное отвлечение, должен быть обеспечен достаточно широкий конкретный опыт, то есть нужно познакомить учеников с разными фактами, раскрывающими изучаемое понятие. Во вторичном отвлечении решающую роль играет схема, которая помогает выделить общий принцип в новых конкретных условиях.
Психологические исследования раскрыли, в чем именно сказывается положительная роль схем. Как известно, для учеников основная трудность решения арифметических задач состоит в том, что для них существует разрыв между конкретно-сюжетной стороной условия и выраженной в нем абстрактной математической зависимостью. Схема, выражающая в отвлеченно-пространственной форме (например, в виде прямоугольников разной высоты) зависимость между данными и искомым, помогает в преодолении этого разрыва, поскольку она объединяет в себе черты как наглядного, так и отвлеченного материала. Схема, с одной стороны, помогает отрешиться от конкретного сюжета задачи, поскольку она более абстрактна (внесюжетна), а с другой — она способствует осознанию абстрактной математической зависимости, так как она ее сама выражает, но в более наглядной — графической форме.
Важным условием успешного использования схемы является сопоставление ее с более конкретным видом графики — картинкой, иллюстрирующей соотношение предметов, описанных в условии задачи.
Теперь мы подошли к формулировке важнейшего принципа обучения (вообще и математике в частности): принципа взаимодействия конкретного и отвлеченного (абстрактного) мышления в процессе усвоения знаний.
Необходимым условием формирования абстрактных понятий является накопление конкретного опыта, включающего знакомство с различными явлениями. Узнать общий абстрактный принцип удается только тогда, когда преодолевается разрыв между конкретным и абстрактным, который первоначально существует в сознании того, кто решает задачу.
При овладении новыми понятиями и принципами конкретный материал служит опорой усвоения, но при узнавании в новых условиях изученного ранее понятия или принципа конкретный материал становится причиной, которая не облегчает, но даже может затруднить выполнение задания.
И в том и в другом случае конкретный материал используется в учебных целях, но во втором он будет играть совершенно иную роль по сравнению с тем, как это обычно подразумевается, когда говорится о принципе наглядности.
Таким образом, понятие наглядное, или точнее сказать, конкретное, обучение значительно шире того привычного содержания, какое в него обычно вкладывается.
