При делении многозначных чисел на двузначное и трехзначное число в практике используется прием разложения делимого на слагаемые, а для нахождения цифр частного — прием округления делителя и прием испытания цифры частного. До ,сих пор во всех случаях деления не приходилось изменять делитель, а поэтому найденную цифру записывали сразу. При делении же на двузначное и трехзначное число, прежде чем записать цифру частного, надо ее проверить.
Новым на данном этапе является изменение делителя, пробная цифра частного, испытание цифры частного.
Остановимся на этом более подробно.
В школьной практике часто двузначный делитель в одних случаях округляют до ближайшего меньшего круглого числа, а в других — до большего круглого числа, в зависимости от того, к какому из этих чисел делитель ближе. Так, делитель 63 округляют до 60, а делитель 67 до 70. К этому обязывает название приема — округление делителя.
Опыт показывает, что ученикам легче заменить делитель меньшим круглым числом. При этом меньше изменений вносится в делитель: сохраняется число десятков, изменяется только число простых единиц; не надо усваивать два способа нахождения цифр частного, отпадает необходимость в выборе нужного способа. Прием замены делителя меньшим круглым числом становится универсальным.
Заметим, что в таком случае правильнее говорить не о приеме округления, а о приеме замены делителя ближайшим меньшим круглым числом.
Рассмотрим приемы испытания пробной цифры частного. В большинстве методических руководств при испытании цифры частного рекомендуется все вычисления производить в уме и оперировать по возможности круглыми числами; при делении на двузначное число такими числами будут десятки; при делении на трехзначное число — круглые сотни и сотни с десятками.
Поясним этот способ на примере. Пусть надо 4042 разделить на 47
Первое неполное делимое 404 десятка. В частном будет две цифры.
Чтобы разделить. 404 на 40, достаточно 40 разделить на 4, получится 10; первая пробная цифра 9; 40 умножить на 9, получится 360. Вычитаем, получится 44. Семью девять — 63. В запасе 44; 44 < 63. Значит, 9 — много. Берем 8.
40 умножить на 8, получится 320. Вычитаем. В запасе 84: семью восемь — 56; 84 > 56. Значит, частное 8.
Теперь 47 умножаем на 8 письменно: семью восемь — 56; 6 пишу и т. д.
Образуем второе неполное делимое — 282.
Чтобы разделить 282 на 40, достаточно 28 разделить на 4; получится 7, но сразу видно, что 7 — много (40 x 7 = 280; 282 — 280 = 2). Берем 6.
40 умножить на 6, получится 240; 282 — 240 = 42, и надо 42 (7 x 6 = 42). Значит, 6 подходит.
Частное 86.
При таком способе работы дело сводится к знакомым вычислениям, которые ученики выполняют устно: 40 x 8; 40 x 7; 404 — 360 (фактически 40 — 36); 282 — 240 (фактически 28 — 24), то есть приходится в основном вычитать двузначные числа из двузначных и умножать круглые десятки, а при делении на трехзначное — умножать круглые сотни.
В школьной практике следует шире использовать последний способ, когда дело сводится к устным вычислениям.
Изложим порядок изучения деления на двузначное число.
Сначала решаются примеры на деление без остатка и с остатком трехзначных чисел, когда в делении на каждом его этапе участвует столько же разрядов, сколько их в делителе. Например:
После этого полезно решать похожие примеры на деление без остатка трех-, четырех-, пяти- и шестизначных чисел, когда в не-полном делимом две цифры и когда в частном получаются единицы только старшего разряда, например, 720 : 24; 6400 : 16 = 400; 51 000 : 17 = 3000; 800000 : 16 = 50000.
Затем переходят к делению без остатка трехзначных чисел, когда цифру частного находят в результате одной пробы и когда в частном получается однозначное число. Пусть надо 315 разделить на 63. Здесь ученики знакомятся с приемом замены делителя ближайшим меньшим круглым числом.
На следующей ступени решаются примеры на деление четырех-, пяти- и шестизначных чисел без остатка, когда в неполном делимом три цифры и когда в частном получаются единицы только старшего разряда, например: 2080 : 52=40; 30800 : 44 = 700; 213000 : 71 = = 3000.
Потом даются примеры на деление трехзначных чисел без остатка и с остатком, когда цифра частного находится в результате одной и более проб, например: 514 : 76. Задача этой ступени состоит в том, чтобы ученики овладели приемами проверки цифры частного.
Можно отметить еще один случай деления трехзначных чисел (без остатка и с остатком), когда в частном получается двузначное число и когда в первом неполном делимом две цифры, а во втором три, например:
После того как все варианты, которые встречаются при решении многозначных чисел, рассмотрены каждый в отдельности, можно переходить к делению сначала четырех-, затем пяти- и шестизначных чисел. При этом на каждой ступени вначале берутся общие случаи деления без остатка, затем — с остатком. Полезно следить за тем, чтобы в неполных делимых было и две и три цифры. Все намеченные выше ступени деления на двузначное число надо понимать так, что наряду с новыми примерами решаются вперемежку и старые примеры.
Заметим также, что в процессе изучения деления многозначных чисел важно развивать самостоятельность, смекалку, творчество наших учеников. Особенности некоторых примеров часто наталкивают детей на использование более рациональных приемов, чем те, которыми они обычно пользуются.
Методика изучения деления на трехзначное число аналогична делению на двузначное число.
Как мы видим, на всех этапах изучения письменного деления используется прием деления суммы на число и сохраняется один и тот же порядок деления:
- образование неполного делимого;
- нахождение цифры частного;
- умножение с целью узнать, сколько единиц соответствующего разряда уже разделили и
- вычитание с целью узнать, сколько единиц соответствующего разряда не разделили.
Но указанные четыре операции в разных условиях выполняются по-разному. Поясним это на нахождении цифры частного.
При делении на однозначное число цифру частного находят сразу, без проб, пользуясь табличными случаями деления.
При делении на круглые десятки.и круглые сотни предпочтительно пользоваться приемом последовательного деления. Цифру частного и здесь находят сразу, без проб.
При делении на двузначное и трехзначное число для нахождения цифры частного пользуются приемом замены делителя круглым числом. Цифру частного как пробную в этом случае приходится проверять.
Стабильность порядка применения четырех указанных операций и изменчивость самих операций в разных условиях и составляют особенности письменного деления.
Ученикам следует дать определения действий: определение вычитания как действия на нахождение одного из двух слагаемых по их сумме и другому слагаемому; умножения как нахождения суммы одинаковых слагаемых; деления как нахождения одного из двух сомножителей по произведению и другому сомножителю. Действие сложения не определяется, а поясняется на операциях с множествами.
Новейшие исследования в области методики начального обучения математике позволяют утверждать, что ученикам начальной школы доступны основные понятия, относящиеся к законам и свойствам арифметических действий. Имеется возможность ввести формулировки и запись в общем виде переместительного закона сложения и умножения, сочетательного закона этих действий и распределительного закона умножения. Наряду с этим могут быть сформулированы следующие правила: вычитания суммы из числа и числа из суммы; прибавления числа к разности и разности к числу; вычитания разности из числа и числа из разности; умножения числа на разность; деления суммы на число и деления числа на произведение.
