Предлагаемая ниже классификация простых арифметических задач составлена на следующих основаниях: а) установлены исходные задачи, б) из каждой исходной задачи путем ее преобразования составлены две новые взаимно обратные задачи.

Над множествами (совокупностями) предметов могут быть выполнены следующие практические операции: объединение двухконечных множеств в одно, удаление части множества, сравнение двух множеств. Те же операции могут быть выполнены и над конкретными значениями той или иной величины, например над длинами отрезков.

Исходя из этих соображений, в качестве исходных задач на сложение и вычитание можно выделить следующие задачи:

1. Задачи, в которых требуется найти сумму чисел, обозначающих совокупности предметов или значения величин.
   
2. Задачи, в которых требуется найти остаток, то есть узнать, сколько останется, если от одного числа отнять другое число.
   
3. Задачи, в которых требуется найти разность, то есть узнать: а) на сколько одно число больше другого; б) на сколько одно число меньше другого? (Эти задачи можно считать двумя разновидностями одной задачи.)

Каждая простая задача может быть преобразована в новую, если искомое задачи принять за одно из данных новой задачи, а одно из данных преобразуемой задачи считать искомым в новой задаче.

Такие задачи, в которых одно из данных первой служит искомым во второй и искомое первой входит в число данных второй, называют взаимно обратными.

Из каждой исходной задачи путем ее преобразования можно получить две обратные задачи, которые вместе с исходной составят группу из трех взаимно обратных задач.

Виды простых задач на сложение и вычитание.

По аналогии с таблицей простых задач на сложение и вычитание может быть составлена таблица простых задач на умножение и деление в их взаимной связи.

В качестве исходных возьмем следующие задачи:

1. задача на нахождение произведения, то есть суммы одинаковых слагаемых;
2. задача на деление на равные части;
3. две задачи на нахождение кратного отношения: а) по вопросу «во сколько раз больше?», б) по вопросу «во сколько раз меньше?» (эти задачи можно считать разновидностями одной задачи).

В первом столбце помещены задачи, решаемые умножением, во втором и третьем — задачи, решаемые делением. Исходные задачи обозначены римскими цифрами, обратные — римскими цифрами с буквами.

Задачи сформулированы в отвлеченной форме, чтобы яснее выступало их отличие от задач других видов.

К указанным выше задачам можно было бы присоединить еще три задачи: одну прямую и две обратные. Это задачи:

1. на нахождение дроби числа,
2. на нахождение числа по данной его дроби
3. какую часть одного числа составляет другое число.

Но эти задачи, как требующие действий над дробными числами, по существу выходят за пределы программы начального обучения.

Приведенная выше классификация простых задач не является единственно возможной. Простые задачи можно классифицировать и на иных основах, что и делается авторами различных методических руководств (Н. С. Поповой, Н. П. Никитиным, Г. Б. Поляком, А. С. Пчелко и др.). Но как бы простые задачи ни классифицировались, в конечном счете у всех авторов-методистов получается приблизительно одно и то же число одинаковых простых задач. В приведенной выше классификации отчетливо показаны простые задачи в их взаимосвязи и дан наиболее полный их перечень.

Следует отметить, что в указанных таблицах простые задачи систематизированы по математическому принципу, который еще не определяет собой их методической системы: исходные задачи в школьной практике далеко не всегда решаются первыми. Например, дети сначала знакомятся с задачей на увеличение числа на несколько единиц, а потом уже с задачей на разностное сравнение чисел, то есть они сначала решают обратную, по данной классификации задачу, а потом уже исходную (прямую).

Рассмотрим особенности простых задач, в которых встречаются выражения больше на... или меньше на ..., обозначающие, что данное число на несколько единиц больше или. меньше искомого. Возьмем для примера следующие две простые задачи:

1. Сыну 7 лет, а отец на 23 года старше сына. Сколько лет отцу?
2. Сыну 7 лет, и он на 23 года моложе отца. Сколько лет отцу?

Решение первой задачи основано на истолковании смысла выражения на ... больше, как имеющего значение: столько же и еще,..., что приводит к необходимости выполнить сложение.

Для решения второй задачи ее условие следует переформулировать так, как оно изложено в первой задаче, заменив выражение моложе на ... противоположным по смыслу старше на .... В самом деле, если одно число меньше другого на несколько единиц, то второе число больше первого на столько же единиц.

Особенность этих видов простых задач на сложение и вычитание и аналогичных им, решаемых умножением и делением, заключается, таким образом, в том, что для отыскания способа их решения необходимо предварительно переформулировать условие задачи.

По своему характеру простые задачи могут быть подразделены па следующие группы:

1. Задачи, при решении которых выбор арифметического действия производится на основе использования опыта ученика в операциях со множествами предметов, когда ученику приходилось в играх и в других видах деятельности объединять множество предметов, удалять из определенного множества часть предметов, объединять по нескольку множеств одинаковой численности, делить (разлагать) данное множество предметов на новые множества одинаковой численности, делить данное множество предметов на равные части.

Это задачи на нахождение суммы, остатка, произведения, частного (деление на равные части), делителя (деление по содержанию).

2. Задачи на нахождение неизвестных компонентов сложения, вычитания, умножения, деления, при решении которых арифметическое действие находится на основе не только операций со множествами предметов, но и простейших умозаключений.

Например, чтобы узнать: Сколько было саженцев до их посадки, если известно, что посадили 5 саженцев, а осталось их 3? — ученик рассуждает: «Осталось 3 саженца, значит, они были до посадки; да еще были и те 5, которые посадили; до посадки было 3 саженца, да 5 саженцев, всего 8 саженцев».

3. Задачи, в содержание которых в качестве данного или искомого входят разность или отношение: задачи на нахождение разности по вопросам: На сколько больше?, На сколько меньше?, на нахождение отношения по вопросам Во сколько раз больше?, Во сколько раз меньше?, задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и в несколько раз.

Для решения этих задач дети должны понимать смысл указанных выше вопросов, соответствующих выражений («на несколько единиц больше», «в несколько раз больше» и т. п.) и осознать выражаемые ими понятия.

4. Задачи, для решения которых необходимо применить переформулировку условия: задачи, в которых выражения «больше»(«меньше») указывают, что данное число больше (меньше) искомого на несколько единиц или в несколько раз.

Для установления последовательности задач при изучении решения их необходимо учитывать эти особенности.