Различаются два основных случая сложения и вычитания в пределах двадцати: табличное сложение и вычитание с переходом через десяток и вне табличное сложение и вычитание без перехода через десяток.

Табличное сложение связано с усвоением наизусть соответствующих результатов, тогда как запоминать результаты внетабличного сложения, а следовательно, и изучать каждый случай в отдельности нет необходимости. Поэтому табличное сложение следует проходить после внетабличного.

Табличное вычитание может быть пройдено совместно с прямым действием. Что касается внетабличного вычитания, то вычитание однозначного числа из двузначного и из двадцати не труднее, чем соответствующие случаи сложения, а потому также изучается совместно с этими случаями. Приемы вычитания двузначного числа из двузначного и из двадцати являются более громоздкими, чем приемы табличного сложения и вычитания, и потому даются после работы над всеми остальными случаями сложения и вычитания в пределах двадцати.

Заметим, что совместное изучение действий I ступени, обеспечивая ученику возможность самопроверки, имеет немаловажное воспитательное значение.

Рассмотрим прежде всего методику работы над внетабличным сложением и вычитанием.

Первый этап. Сюда относятся такие случаи, как 10 + 3, 3 + 10; 13 — 3 и 13 — 10. Чтобы решить пример, в котором одно из данных чисел или искомое равно десяти, достаточно уметь образовать число из десятка и нескольких единиц или же разложить данное число на разрядные слагаемые.

После изучения письменной нумерации полезно провести работу над тремя числами, из которых ученики самостоятельно составляют два примера на сложение и два соответствующих примера на вычитание. На наборном полотне учитель выставляет, предположим, числа 5, 15 и 10. Дети должны составить примеры:

5 + 10 = 15 и 10 + 5 = 15;
15 — 5 = 10 и 15 — 10 = 5.

Второй этап. Сюда относятся такие случаи сложения и вычитания, как 12 + 3; 3 + 12; 15 — 3 и т. д.

Чтобы пояснить сложение чисел 12 и 3, дети кладут перед собой слева пучок-десяток и две палочки, а справа три палочки. Выполняя сложение на палочках, они приходят к выводу, что 3 ед. следует прибавить к двум единицам, а затем останется образовать число из 1 дес. и 5 ед. или сложить 10 ед. и 5 ед. Аналогично выясняется соответствующий случай вычитания в сопоставлении его со сложением.

На первых порах полезно записывать, на доске и в тетрадях ход решения примеров:

12 + 3 = ? 15 — 3 = ?
2 + 3 = 5 5 — 3 = 2
10 + 5 = 15 10 + 2 = 12
12 + 3 = 15 15 — 3 = 12

В дальнейшем сложение выполняется без помощи палочек и без подробной записи. Объяснение вычислительного приема может быть дано в устной форме.

При решении примеров вида 3 + 12 используется переместительный закон сложения, который теперь применяется в новых условиях, причем иногда переставлять числа приходится дважды:

7 + 12 = 12 + 7 = 10 + (2 + 7) = 10 + (7 + 2) = 10 + 9.

При этом используется сочетательный закон сложения.

Объяснение примеров, требующих перестановки слагаемых, дается во избежание громоздких записей только в устной форме.

Прием перестановки полезно пояснить на жизненном примере: В одном бидоне 3 л молока, а в другом — 12л. Надо освободить один из этих бидонов. Как выгоднее поступить: перелить 12 л в первый бидон или 3 л во второй?

Третий этап. Здесь рассматриваются в сопоставлении случаи сложения и вычитания вида: 16 + 4; 4 + 16; 20 — 4.

Приемы решения таких примеров поясняются развернутой записью

16 + 4 = ? 20 —4 = ?
6 + 4 = 10 10 — 4 = 6
10 +1 0 = 20 10 + 6 = 16
16 + 4 = 20 20 — 4 = 16

Примеры вида 4 + 16 решаются на основе перестановки слагаемых. Во избежание громоздких записей, как и на предшествующем этапе, объяснение способа их решения дается обычно в устной форме.

Четвертый этап — вычитание двузначных чисел, например, 18 — 12 и 20 —16. При решении подобных примеров следует разлагать на разрядные слагаемые только вычитаемое, чтобы избежать поразрядного вычитания:

18 — 12 = ? 20 — 16 = ?
18 — 10 = 8 20 — 10 = 10
8 — 2 = 6 10 — 6 = 4
18 — 12 = 6 20 — 16= 4

В работе над внетабличным сложением и вычитанием материал располагается по вычислительным приемам. Совместное изучение сложения и вычитания дает широкие возможности для сравнения и сопоставления способов и приемов, применяемых при выполнении этих действий.

Некоторых доступных детям на данном уровне обобщений можно достигнуть через словесную формулировку соответствующих правил. Например: Чтобы от 18 отнять 15, надо сначала, отнять 10, а потом еще 5; от 18 отнять Ю, получится 8; от 8 отнять 5, получится 3; значит, 18 — 15 = 3.

При изучении табличного сложения в практике школы укоренился порядок изучения сложения, расположенного по постоянному первому слагаемому, начиная с числа 9, и притом вне непосредственной связи с вычитанием. Между тем психологические исследования показывают, что рациональнее сближать взаимообратные понятия и операции. Этим обеспечивается, с одной стороны, своевременность и полнота обобщений, а с другой стороны, экономия времени. Рассмотрим с этих сторон табличное сложение и вычитание.

Прежде всего поясняется прием последовательного сложения для тех случаев, когда второе слагаемое меньше первого, и соответствующих случаев вычитания. Работа над приемами табличного сложения и вычитания позволяет раскрыть в новых условиях сочетательный закон сложения и аналогичное свойство вычитания, чем обеспечивается достижение на данном этапе образовательной цели обучения.

Один-два урока можно посвятить решению примеров вида: 9 + 6; 8 + 3; 7 + 5 и т. д., а затем подвести детей к решению аналогичных примеров на вычитание: 15 — 6; 11 — 3; 12 — 5 и т.д.

Приемы сложения и вычитания могут быть пояснены на классных счетах или других пособиях, которые благодаря своей структуре заставляют ученика выполнять действие в условиях десятичной системы счисления.

Вначале объяснение приема на наглядном пособии сопровождается его подробной записью (рис. 39).

Сложение поясняется на двухцветных кружках, что позволяет представить наглядно не только сумму и ее десятичный состав, но и слагаемые. При этом ученик должен осознать необходимость дополнить первое число до десяти, а затем прибавить к полученному оставшиеся единицы. Если смотреть на запись сверху вниз, то видно, что число 5 разложено на 3 и 2

При вычитании следует применять кружки одинакового цвета. Их расположение подсказывает целесообразность приема последовательного вычитания: 12 — 5= (12 — 2) — 3 = 10 — 3 = = 7. При этом выясняется, что последовательность операций при вычитании (—2; —3) прямо противоположна последовательности операций при сложении (+3; +2).

Когда оба приема — прием последовательного сложения и прием последовательного вычитания — усвоены, возникает необходимость обеспечить практическую цель: запоминание наизусть результатов табличного сложения для тех случаев, когда второе слагаемое меньше первого. На этом этапе целесообразно расположить примеры в определенной системе. Попутно повторяются соответствующие случаи вычитания, следующие из рассмотренных случаев сложения:

9 + 2; 11 — 2; 8 + 3; 11 — 3;
9 + 3; 12 — 3; 8 + 4; 12 — 4;
9 + 4; 13 — 4 и т. д. 8 + 5; 13 — 5 и т, д.

Особое внимание следует уделить при этом суммам одинаковых слагаемых (6 + 6; 7 + 7; 8 + 8 и 9+9), которые запоминаются более легко и прочно.

На нескольких примерах следует напомнить детям прием перестановки слагаемых: 5 + 8 = 8 + 5; 4 + 7 = 7 + 4; 3 + 9 = 9 + 3 и т. д. Затем научить их пользоваться этим приемом для нахождения всех остальных результатов табличного сложения и на их основе — результатов соответствующих случаев вычитания.

Итак, усвоению наизусть подлежат только следующие случаи сложения:

Из трех чисел любого примера вышеприведенной таблицы дети составляют два примера на сложение и два — на вычитание; так, из чисел 8, 5 и 13 они составляют примеры: 8 + 5 = 13; 5 + 8 = 13; 13 — 5 = 8 и 13 — 8 = 5.

Такие упражнения содействуют усвоению наизусть табличного сложения и вычитания.

Напомним, что табличное сложение опирается в основном на два приёма:

1. прием последовательного сложения, который применим ко всем случаям сложения с переходом через десяток, но не рационален в тех случаях, когда второе слагаемое больше первого
2. прием перестановки слагаемых, который целесообразно применять в этом последнем случае.

Наряду с основными приемами могут иметь место и некоторые частные приемы. Так, опираясь на большую легкость сложения одинаковых слагаемых, пример 7 + 8 можно заменить примером 7+ 7 + 1 или 7 + 9 примером 8 + 8. Последний, более трудный прием можно пояснить следующим образом: На утреннике в первом ряду сидели 7 человек, а во втором - 9 человек. Чтобы всем было одинаково удобно сидеть, пусть из второго ряда в первый пересядет 1 человек. Тогда в каждом ряду станет по 8 человек. Но 8 + 8 = 16; значит, и 7 + 9 = 16.

Основной прием табличного вычитания сводится к последовательному вычитанию, если вычитаемое меньше остатка, то есть к вычитанию суммы из числа: 12 - 5 = 12 - (2 + 3) = (12 - 2) - 3 = 10 - 3 = 7. Наряду с этим можно применить прием вычитания числа из суммы: 12 - 5 = (10 + 2) - 5 = (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7.

Однако при этом неоднократно появляется типичная ошибка: отняв все вычитаемое от десяти, ребенок оставляет без внимания свободные единицы уменьшаемого и получает неправильный ответ (например, в данном случае число 5 вместо числа 7). Трудность для первоклассника состоит еще и в том, что нужно преодолеть инерцию действия: приходится после вычитания применять сложение. Лучше поэтому сначала придерживаться вычитания суммы из числа, а затем раскрыть на одном и том же примере оба приема в порядке сопоставлен и я. Заметим, что преодоление посильных трудностей имеет определенное воспитательное значение.

Некоторые примеры на вычитание удобно решать приемом добавления. Так, чтобы решить пример 12 - 9, достаточно сообразить, что 9 + 1 + 2 = 12; иначе говоря, к 9 надо прибавить 3, чтобы получить 12. Отсюда 12 - 9 = 3. Этот прием полезно пояснить на жизненном примере: За стакан кофе надо заплатить 9 коп. Из каких монет может при этом состоять сдача с 15 кол.? Удобнее всего составить ее из 1 коп. и 5 коп., так как 9 коп. + 1 коп. + 5 коп. = 15 коп.

Развернутая запись вычислительных приемов нужна только при начале их изучения. В дальнейшем дети опираются на рассуждение, на «проговаривание» правила и, наконец, на называние табличных результатов по памяти. В отдельных случаях, если нужный результат забыт, приходится снова прибегнуть к рассуждению или даже к наглядности.

В связи с решением примеров на сложение и вычитание в два действия полезно обратить внимание учеников на следующее интересное обстоятельство. ,

Решая пример 8 + 6, поступают так: 8 + 2 + 4 = 14 (краткая запись приема). Спрашивается: какими двумя числами мы заменили в этом случае число 6? А какое число мы прибавим к 8, если решим пример 8 + 2 + 5? или 8 + 3 + 2? или 8 + 1 + 5?

Такие упражнения на замену данных слагаемых их суммой (2 + 5 = 7; 3 + 2 = 5; 1 + 5 = 6) служат своего рода подготовкой к обобщенному пониманию сочетательного закона сложения. Аналогичные упражнения применимы и к вычитанию. Решая пример 12—7, мы заменяем число 7 числами 2 и 5; 12 — 2 — 5 = 5 (краткая запись приема). А какое число отнимем мы от числа 15, решая пример 15 — 3 — 4? или 15 — 6 — 2 и т. д.

Преодолению трудностей в работе над сложением и вычитанием, как табличным, так и внетабличным, содействует переключение учеников, допустивших ошибку в вычислениях с отвлеченными числами, на пример, взятый из жизни. Так, если при решении примера 15 — 6 в ответе получилось 4 (ученик отнимал 6 от десяти, забыв о 5), можно спросить: У покупателя было 15 коп.; он купил блокнот за 6 коп. Мог ли он получить сдачи только 4 коп.?

Умение проверять умозрительное заключение через его сопоставление с определенной жизненной ситуацией имеет и воспитательное значение, гак как приучает исподволь рассматривать практику как критерий истины.