Основные задачи изучения геометрического материала в I — IV классах заключаются в том, чтобы создать у детей четкие и правильные геометрические образы, развить пространственное представление, вооружить их навыками черчения и измерения, имеющими большое жизненно практическое значение, и тем самым подготовить учеников к успешному изучению систематического курса геометрии.

Общее направление, в котором должно проходить изучение геометрического материала, сформулировано в объяснительной записке к программе. Процесс изучения геометрического материала должен быть от начала до конца активным, конкретным, наглядным. Все обучение следует сопровождать практическими упражнениями. При этом учащиеся будут воспринимать не только готовые геометрические фигуры и тела, они сами будут создавать и воспроизводить изучаемые геометрические формы, используя для этого вырезывание и наклеивание, моделирование, вырезывание разверток и склеивание, черчение, образование фигур на подвижных моделях, а также путем перегибания листа бумаги.

Рассмотрим методы и приемы изучения отдельных геометрических тем.

Изучение прямой линии развивает один из основных компонентов пространственных представлений — понятие о линейной протяженности. Познание линейной протяженности формируется как на уроках математики, так и на уроках рисования, физкультуры, труда, начиная с первых шагов обучения. Эти знания развиваются в двух направлениях: в процессе измерительных операций и при оценке на глаз расстояний или соотношения размеров предметов. Когда дети рисуют предметы, то они сравнивают на глаз линейные соотношения их размеров.

Знакомство с углами удобно провести на шарнирной модели. Можно сначала дать образ прямого угла. Путем двойного перегибания листа бумаги ученики получают модель прямого угла, пользуясь которой выполняют различные упражнения: накладывают эту модель на углы, тетради, книги и убеждаются, что эти углы прямые; строят прямые углы на клетчатой и нелинованной бумаге.

Если последовательно соединить несколько точек, расположенных так, чтобы их соединение дало замкнутую ломаную линию, то создается образ многоугольника: четырехугольника, пяти или шестиугольника и т. д. (рис. 67).

Площадь можно рассматривать как величину, по отношению к которой могут быть установлены критерии сравнения, то есть признаки равенства или неравенства. Главными свойствами площади являются:

1. Независимость ее величины от положения фигуры в пространстве.
   
2. Фигура, состоящая из нескольких фигур, имеет площадь, равную сумме площадей этих фигур.

Прежде чем перейти к косвенному измерению площади, следует провести беседу о том, что на практике способ наложения большей частью труден или даже невозможен при измерении площади лесного участка, площади засеянного поля, площади здания, пруда и т. д. Отсюда вытекает необходимость искать другие способы измерения площади. Следующие чертежи (рис. 76) иллюстрируют ход и последовательность рассуждений, приводящих учеников к выводу правила для вычисления площади прямоугольника и квадрата.

Пространственные представления включают в себя понятия о протяженности, площади, емкости.

Понятие об объеме как о величине дается по аналогии с понятием о площади. Можно сравнивать емкость (вместимость) различных сосудов, наполняя один из них водой и переливая ее в другие сосуды или пересыпая определенное количество песка в коробки различной величины. Таким образом, объем выступает как величина, объемы можно сравнивать. Переливая определенный объем жидкости в сосуды различной формы (банка, бутылка, графин), можно показать, что хотя форма изменилась, но объем остался таким же. Поскольку дано понятие об объеме как о величине, нетрудно подойти к вопросу о необходимости определенных единиц для измерения этой величину. С учениками повторяется процесс измерения длины и площади, устанавливается, что измерение нового вида величины — площади потребовало и новых единиц для измерения (квадратных единиц, которыми можно покрыть площадь).

Изучению мер и обучению измерениям в начальных классах уделяется большое внимание. Это объясняется той большой ролью, какую играют меры и измерения в жизни вообще и в политехническом обучении в частности. Обучение измерениям отвечает практической потребности человека. Возникнув из практических нужд людей, измерения вошли в математику в качестве важной составной части. Именно поэтому в начальном курсе математики дают понятия об основных величинах, изучают меры длины, веса, площади, объема, времени, знакомят с устройством простейших измерительных инструментов и правилами пользования ими и прививают ученикам определенные измерительные навыки. Отсюда следует, что изучение мер и проведение измерительных работ есть одно из средств связи преподавания математики с жизнью.

Величины, представления о которых формируются в начальных классах, относятся к категории так называемых положительных скалярных величин.

Система изучения мер и формирования измерительных навыков, установленная программой, характеризуется следующими признаками.

Меры изучаются во всех классах начальной школы.

Практика показывает, что во время знакомства учеников с величинами и средствами их измерения дидактические принципы нередко предаются забвению. Поэтому целесообразно обратить здесь на них внимание учителя.

Основой методов, применяемых при изучении мер, являются наблюдения, непосредственные восприятия, опора на взаимодействие различных анализаторов: зрения, осязания и движения. Ознакомление с единицами метрических мер (метром, дециметром и сантиметром, килограммом и граммом, литром и др.) проводится так, что дети наблюдают, включают их в практику измерения и построения на уроках арифметики, вырезают и воспроизводят их в лепке и моделировании на уроках труда, изображают их на уроках рисования.

В третьих и четвертых классах продолжается работа по формированию конкретных представлений о единицах измерения разных величин (из мер длины дети знакомятся с километром и миллиметром, из мер веса — с тонной и центнером, из мер времени — с веком и секундой).

Измерения «на глаз» и «на руку» являются важным видом измерительных работ. Как уже было отмечено, глазомер играет большую роль при инструментальных измерениях, где постоянно приходится оценивать «на глаз» относительные (а в некоторых случаях и абсолютные) размеры частей делений на шкалах. Кроме того, измерения «на глаз» и «на руку», как и измерения вообще, способствуют формированию у детей пространственных представлений. Наконец, глазомерные оценки развивают у них умение прикидывать результат. Такое умение является хорошим средством самоконтроля при выполнении различных работ, например, при производстве расчетов и решении задач.

Об уровне измерительных навыков учащихся учитель может судить на основе наблюдений и по результатам их работ. Более глубокую проверку измерительных навыков учитель может провести с помощью ряда вопросов и заданий, подобранных с соблюдением определенных условий. Вопросы и задания должны быть составлены таким образом, чтобы их можно было предлагать всему классу одновременно. Они должны давать учителю возможность выяснить не только формальную сторону знаний и навыков, но и то, насколько сознательно выполняют ученики измерительные работы. Вопросы и задания не должны требовать простого повторения ранее выполненных измерительных работ.

Проводя с классом те или иные измерительные работы, учитель должен уметь оценивать результаты, которые получают ученики. Приведем некоторые нормы оценок результатов измерений, выполняемых детьми.

Ученики начальных классов должны уметь начертить по линейке отрезок заданной длины, с помощью линейки и угольника начертить прямой угол, построить квадрат, прямоугольник. Кроме того, они должны уметь вычертить простейший план, начертить куб, диаграмму, сделать на уроке труда чертеж выкройки и т. д. Чертежные работы совершенствуют геометрические представления ребенка, прививают навыки пользования чертежными инструментами, воспитывают у него аккуратность. Весьма важно и то, что чертежные работы дают богатый материал для проведения разнообразных упражнений в измерениях.

Важным видом чертежных работ является построение диаграмм. Диаграммы служат одним из средств связи обучения арифметике с жизнью, поскольку представляют собой соединение упражнений в измерениях с задачами жизненного характера. Они являются хорошим средством наглядности, позволяя в простой, легко доступной для восприятия форме показать соотношения между величинами, выразить характер изменения той или иной величины.

ОКакой должна быть организация класса при проведении измерительных работ на местности. Опыт показывает, что наибольший эффект измерительные работы на местности дают в том случае, когда они проводятся по бригадам. Разбивку на бригады целесообразнее всего делать так. Прежде всего класс делится на две равные группы (если учащихся менее 20 человек, то класс работает в полном составе). Работа с обеими группами проводится в один день с тем, чтобы очередной урок арифметики мог быть посвящен обработке результатов измерений.

Расстояние в 1 км следует показать на открытой местности, отмерив его либо шагами, либо с помощью рулетки или 10-метровой мерной веревки.

Числа, над которыми производятся арифметические действия, получаются либо в результате пересчитавыния конкретных предметов (деревьев, карандашей, животных и д.р.) либо в результате измерения величин (длины, веса, времени, скорости и др.) с помощью соответствующих единиц измерения.

Сложение и вычитание составных именованных чисел производится без предварительного раздробления. Ознакомление с этими действиями дается на примерах, постепенно усложняющихся: сначала объясняется сложение простых именованных чисел с одинаковыми наименованиями, потом — с разными наименованиями; далее вводятся составные именованные числа.

Умножение составного именованного числа, в отличие от сложения и вычитания, полезно заменять умножением простого именованного числа путем предварительного раздробления множимого. Объяснение правила такого умножения целесообразно давать в сопоставлении с правилом умножения отвлеченных чисел, хотя сопоставление здесь не имеет того значения, какое оно имеет при сложении и вычитании.

Меры времени построены не на основе десятичной системы счисления. Единичные отношения в системе этих мер разные: 12, 365, 7, 24, 60 и др. Поэтому преобразование именованных чисел, выражающих меры времени, значительно сложнее.

В течение последних десятилетий составные именованные числа составляют в программе и учебниках самостоятельный и обособленный концентр, который в основном изучается в IV классе на протяжении примерно 25 часов. Такая система имеет ряд существенных недостатков. Изучение крупного раздела арифметики на протяжении сравнительно короткого времени не дает возможности закрепить знания и навыки по этому разделу.